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DYNAMIQUE - RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS - exercices
I. Force d’inertie d’entraînement
• Un petit objet, représenté par un point matériel M de masse m, est posé sur un plateau horizontal ; ce plateau est animé par rapport au sol dʼun mouvement d'oscillation verticale sinusoïdale : z = A cos(ωt).
a) Justifier que le référentiel
R
ʼ lié au plateau n'est pas galiléen.b) En raisonnant par rapport au référentiel
R
ʼ, indiquer quelle condition doit satisfaire ω pour que le point ne décolle pas du plateau.c) Application numérique : calculer la fréquence “critique” si A = 5 cm.
II. Moment cinétique par rapport à un référentiel non galiléen
1.
• Un pendule simple est constitué par une masse m ponctuelle suspendue par un fil de longueur ℓ.Lʼautre extrémité du fil est fixée, en un point Oʼ, au plafond dʼun train animé dʼun mouvement de translation rectiligne horizontal suivant lʼaxe Ox dʼun référentiel galiléen
R
. Lʼaccélération!
ae du train par rapport à
R
est constante.
• Déterminer lʼangle α que fait le fil du pendule avec la direction verticale Oʼzʼ du référentiel
R
ʼ, lorsque le pendule est en “équilibre relatif” pour un observateur placé dans le train.2.
• Lʼobservateur placé dans le train étudie les oscillations du pendule, autour de cette position dʼéquilibre, dans le plan xʼOʼzʼ. La position du pendule est repérée par lʼangle θ du fil par rapport à Oʼzʼ.• Calculer le moment cinétique par rapport à Oʼ et sa dérivée par rapport au temps par rapport au référentiel
R
ʼ lié au train. En déduire la période des petites oscillations autour de la position dʼéquilibre.III. Mouvement par rapport à un référentiel non galiléen
• Une circonférence horizontale de centre C et de rayon R est animée dʼun mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω autour dʼun axe vertical Oz, où O est un point de la circonférence.
• Étudier le mouvement dʼun point matériel M glissant sans frottement sur cette circonférence.
◊ indication : utiliser lʼangle α =
!
OC ;"CM
#
$% &
'( et projeter lʼéquation du mouvement pour obtenir une équation différentielle sur α (par rapport à un référentiel judicieusement choisi).
IV. Chute par rapport à un référentiel tournant
• Un manège tourne à la vitesse angulaire constante ω autour de son axe Oz vertical. On considère des axes Oxʼ et Oyʼ horizontaux, liés au référentiel
R
ʼ du manège, avec lʼorigine O à une hauteur h au des- sus du plancher.1.
• On lâche une masse ponctuelle m à partir dʼun point A de lʼaxe Oxʼ, dʼabscisse xʼ = b, avec une vitesse initiale nulle par rapport au référentielR
ʼ. Calculer le temps quʼelle met pour atteindre le plancher.2.
• Calculer les coordonnées x0 et y0 du point de chute de la masse.2
3.
• Un fil à plomb, accroché en A, est en équilibre par rapport au manège. Le “plomb” se trouve au niveau du plancher ; calculer ses coordonnées xʼ0 et yʼ0.4.
• Exprimer les différences x0 - xʼ0 et y0 - yʼ0 et en donner les développements limités au premier ordre pour ω petit.5.
• Écrire les équations différentielles régissant les variations temporelles de xʼ, yʼ et zʼ pour le mouve- ment de chute de la bille (ne pas chercher à les résoudre).V. Force d’inertie complémentaire “de Coriolis”
• Un train à grande vitesse (v = 240 km.h-1) circule dans la direction nord-sud en un lieu de latitude λ = 55° nord. Préciser la direction et le sens de la force dʼinertie complémentaire.
• De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails par rapport à lʼhorizontale si on voulait que la réac- tion des rails soit rigoureusement perpendiculaire à ce plan ?
VI. Principe et précision de l’expérience d’Eötvös
• La Terre est supposée sphérique et on note ω sa vitesse angulaire de rotation sur elle même.
• Deux corps de même poids (cʼest-à-dire de même “masse pesante”, ce qui se vérifie précisément avec une balance) sont placés aux extrémités dʼun levier de longueur 2ℓ, suspendu en son centre à un fil de quartz très fin, de constante de torsion C. On désigne par m et mʼ les “masses inertes” des deux corps (a priori différentes).
1.
• Le pendule ainsi constitué, dont la position est repérée par réflexion dʼun faisceau lumineux sur un miroir, est placé de telle sorte que le levier soit normal au plan méridien. On fait faire un demi tour à tout lʼappareil (y compris le dispositif optique associé au miroir : ce dispositif est fixé sur le même socle que le pendule pour permettre un déplacement aisé). Montrer que la déviation angulaire Δθ du levier a pour expres- sion : Δθ = (m - mʼ)
!
"2R!
C sin(2λ) où R désigne le rayon terrestre et λ la latitude du lieu de lʼexpérience.
2.
• La déviation observée est nulle ; déterminer la précision de la méthode, caractérisée par le rapport!
m" #m
m , sachant que la période des oscillations du pendule est T =
!
2" J
C = 600 s (avec un moment dʼinertie J = 2mℓ 2) et que le système optique peut détecter une déviation du faisceau lumineux de 1 mm à une distance de 2 m.
• Données : ℓ = 4 cm ; R = 6400 km ; λ = 45°.
VII. Oscillation par rapport à un référentiel non galiléen
• Un petit anneau, de masse m, peut glisser sans frottement sur une circonférence verticale de rayon R, tournant à la vitesse angulaire constante ω autour de son diamètre vertical. Discuter, selon la valeur de ω, la stabilité de l'anneau au point le plus bas de la circonférence et la période d'oscillation correspondante.
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VIII. Marées d'équinoxe
1.
a) Les “marées d'équinoxe” dépendent de l'orientation relative de l'axe de rotation de la Terre sur elle même et du plan de son orbite autour du Soleil. Pour un point situé sur l'équa- teur, représenter l'allure des variations temporelles des “forces de marée” lorsque la Terre est au voisinage du solstice.b) Représenter de même l'allure de ces variations tempo- relles lorsque la Terre est au voisinage de l'équinoxe. En dé- duire l'importance relative des marées d'équinoxe.
2.
a) On considère de façon analogue un point situé sur le tropique nord. Représenter l'allure des varia- tions temporelles des “forces de marée” lorsque la Terre est au voisinage de l'équinoxe.b) Représenter de même l'allure de ces variations temporelles lorsque la Terre est au voisinage du solstice. En déduire l'importance relative des marées d'équinoxe, selon que le lieu considéré est dans une zone de résonance à une marée ou a deux marées par jour.
