L’Oasis Des Mathématiques Seconde S
Devoir de Mathématiques sur le Barycentre : (Corrigé)
Exercice 1 Corrigé
1°) Pour tout réelm, on a 2m+1−m+2−m=36=0.
Donc Gmexiste pour toutm. 2°) G1est le barycentre de {(A, 2); (C, 1)}. On a donc# »
AG1=1 3
AC.# »
# » AG1=1
3 AC.# » 3°) Pour tout point M du plan, 2m # »
MA+(1−m)# »
MB+(2−m)# »
MC=3# »
MGm. En prenant M = A, on obtient 3 # »
AGm=(1−m)# »
AB+(2−m)# »
AC, ce qui donne# »
AGm=1−m 3
AB# »+2−m 3
AC.# » AG# »m=1−m
3
AB# »+2−m 3
AC.# »
4°) # »
G1Gm=# » G1A+# »
AGm= −# » AG1+# »
AGm= −1 3
AC# »+1−m 3
AB# »+2−m 3
AC# »=1−m 3
AB# »+1−m 3
AC# »
# »
G1Gm=1−m 3
³# » AB+# »
AC
´
. Or ABDC est un parallélogramme,# » AB+# »
AC=# »
AD, on trouve finalement
# »
G1Gm=1−m 3
AD# »
# »
G1Gm=1−m 3
AD.# »
5°) En posantk=1−m
3 , on obtient# »
G1Gm=k# »
AD aveck∈R.
DoncGmse trouve sur la droite passant parG1et parallèle à (AD). De plus, on peut dire que lorsquem prend toutes les valeurs dansR,kaussi prend toutes les valeurs dansR. Donc l’ensemble des pointsGm lorsquemdécritRest la droite passant parG1et parallèle à (AD).
6°) G0est le barycentre (B,1) et (C,2), doncG0est sur la droite (BC). On sait d’autre part queG0se trouve sur la droite passant parG1et parallèle à (AD). DoncG0est la point d’intersection de la droite passant parG1 et parallèle à (AD) et de la droite (BC).
G0=(BC)∩(GiGj). avec i6=j
A
B C
D
G1
G0
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