D1985 – Un boulevard très prisé [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Dans un triangle ABC, le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et I est le centre du cercle inscrit.
On trace sur le cercle (Γ) le point D d’où l’on voit les segments BI et CI sous le même angle puis le point E d’où l’on voit les segments CI et AI sous le même angle et le pointF d’où l’on voit les segments AI et BI sous le même angle.
On trace les points A',B' et C' à l’intersection des droites AI, BI et CI avec le cercle (Γ) puis les points A'', B'' et C'' qui leur sont diamétralement opposés sur ce même cercle.
Démontrer que les droites AD,BE et CF se rencontrent sur le « boulevard » où se trouvent également les six points de rencontre respectifs des droites DB' et EA', EC' et FB', FA' et DC',AB'' et BA'', BC'' et CB'',CA'' et AC''.
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Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par X le point d'intersection des droites AD,BE et CF puis par P,Q,et R les points d'intersections respectifs des droites DB' et EA', EC' et FB', FA' et DC' et enfin par U,V et W les points d'intersection respectifs des droites AB'' et BA'', BC'' et CB'',CA'' et AC''.
On va démontrer que ces sept points sont situés sur le boulevard passant par les points O et I. En d'autres termes les neuf points O,I,X,P,Q,R,U,V,W sont alignés.
Lemme n°1: les points D,E et F sont respectivement à l'intersection des droites A"I, B"I et C"I avec le cercle (Γ).
Par construction A" diamétralement opposé à A' est le milieu de l'arc BC qui contient le point A. Par hypothèse du point D on voit les segments BI et CI sous le même angle.D'où BDI = CDI. DI est la bissectrice de l'angle BDCet elle passe par le milieu de l'arc BC contenant A, c'est à dire A". Même remarque concernant les points E et F.
Lemme n°2 : (théorème de l'hexagramme mystique de Pascal)
Les trois intersections x,y,z des côtés opposés (af,cd), (ab,de) et (bc,ef) d'un hexagone inscrit dans une conique sont alignées.
On va appliquer successivement le théorème de Pascal à différents hexagones inscrits dans le cercle (Γ).
1) Les points P,Q et R sont sur la droite OI.
Hexagone A'A"B'B"DE
2) Les points U,V et W sont sur la droite OI.
Hexagone AA'A"BB'B"
3) Les droites AD,BE et CF se rencontrent en un même point X situé sur la droite OI
Les droites DA" et EB" se coupent au point I,les droites A'A"
et B'B" au point O et les droites DB' et EA' au point P.
Les points I,O et P sont alignés.
De la même manière par permutation des lettres A,B,C puis des lettres D,E,F entre elles on obtient les propriétés
suivantes:
Hexagone B'B"C'C"EF → les points I,O et Q sont alignés.
Hexagone C'C"A'A"FD → les points I,O et R sont alignés.
Les droites AA' et BB' se coupent au point I, les droites A'A"
et B'B" au point O et les droites AB" et BA" au point U.
Les points I,O et U sont alignés.
De la même manière par permutation des lettres A,B,C entre elles on obtient les propriétés suivantes:
Hexagone BB'B"CC'C" → les points I,O et V sont alignés.
Hexagone CC'C"AA'A" → les points I,O et W sont alignés.
On considère l'hexagone AA'BB'DE et on désigne par X le point d'intersection des droites AD et BE.
Les droites AA' et BB' se coupent en I et les droites DB' et EA' en P.Les points I,P et X sont alignés.
Comme O,I et P sont alignés; on en déduit que X appartient à OI..
On désigne par Y le point d'intersection des droites AD et CF. En considérant l'hexagone AA'CC'DF et les intersections AA' CC'= I, DC' FA'= R et AD CF= Y, on a comme précédemment
l'alignement des points I,R et Y, d'où l'alignement des points O,I et Y. Le point Y à l'intersection de la droite OI et de la droite AD est donc confondu avec le point X. Il en résulte que BE et CF se rencontrent également au point X.
