D 1812 Un point de rencontre
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices des trois côtés BC,CA et AB et on prend respectivement les trois points quelconques D,E,F sur ces médiatrices. Démontrer que les perpendiculaires à EF,FD et DE passant respectivement par A,B et C sont concourantes.
Généralisation pour les plus courageux: démontrer que si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC aux côtés correspondants d'un triangle A'B'C' sont concourantes, alors les perpendiculaires menées des sommets du triangle A'B'C' aux côtés correspondants de ABC sont concourantes.
Solution proposée par Pierre Renfer
On va considérer tout de suite la généralisation.
La fonction scalaire de Leibniz MMA'2MB'2 a pour lignes de niveau les perpendiculaires à la droite (A’B’).
Donc si les perpendiculaires menées des points A,B,C respectivement sur les droites (B’C’), (C’A’), (A’B’) se coupent en un point P, alors :
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
' BA ' BC '
PA ' PC
' AC ' AB '
PC ' PB
' CB ' CA '
PB ' PA
(S)
En additionnant on obtient une condtion nécessaire pour le concours des trois perpendiculaires :
2 2
2 2
2
2 BC' CA' A'B B'C C'A '
AB (C)
Cette condition est aussi suffisante, car si les deux premières perpendiculaires se coupent en P, les deux premières équations de (S) sont satisfaites et la condition (C) assure que la troisième l’est aussi et que le point P appartient aussi à la troisième perpendiculaire.
Les deux triangles ABC et A’B’C’ sont interchangeables dans la condition (C).
Donc si les perpendiculaires menées des points A,B,C respectivement sur les droites (B’C’), (C’A’), (A’B’) snt concourantes, il en est de même des perpendiculaires menées des points A’,B’,C’ respectivement sur les droites (BC), (CA), (AB) .
