D1812 Un point de rencontre.
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices des trois côtés BC,CA et AB et on prend respectivement les trois points quelconques D,E,F sur ces médiatrices. Démontrer que les perpendiculaires à EF,FD et DE passant respectivement par A,B et C sont concourantes.
Généralisation pour les plus courageux: démontrer que si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC aux côtés correspondants d'un triangle A'B'C' sont concourantes, alors les perpendiculaires menées des sommets du triangle A'B'C' aux côtés correspondants de ABC sont concourantes.
La perpendiculaire à EF issue de A est l'axe radical du cercle de centre E qui passe par A et C et du cercle de centre F qui passe par A et B.
Les trois perpendiculaires sont les axes radicaux de trois cercles pris 2 à 2. Elles sont concourantes au centre radical I de ces trois cercles, et I vérifie DC² – DI² = EI² – EA² = FI² – FB² .
Généralisation :
Les 3 droites AI, BI, CI concourantes en I sont les perpendiculaires menées des sommets du triangle ABC aux côtés correspondants du triangle A'B'C'. ( la figure est dessinée avec A sur B'C', B sur C'A', et C sur A'B', mais cela ne change rien au raisonnement )
La perpendiculaire menée de A' à BC coupe B'C' en D', et la droite AI coupe BC en D.
On se propose de montrer que DB/DC = D'B'/D'C'.
Dans les triangles DBI et DCI :
DB/sin BID = DI/sin DBI, et DC/sin CID = DI/sin DCI d'où DB/DC = (sin BID/sin CID).(sin DCI/sin DBI) Dans les triangles D'B'A' et D'C'A' :
D'B'/sin D'A'B' = A'D'/sin D'B'A', et D'C'/sin D'A'C' = A'D'/sin D'C'A' d'où D'B'/D'C' = (sin D'A'B'/sin D'A'C' ).(sin D'C'A'/sin D'B'A') Les égalités d'angles (côtés perpendiculaires ) :
BID=D'C'A', CID=D'B'A', DCI=D'A'B', DBI=D'A'C' permettent d'aboutir à DB/DC = D'B'/D'C'.
Les perpendiculaires menées de B' et C' aux côtés AC et AB ne sont pas visibles sur la figure. De même les analogues E et E' , F et F' de D et D', sur CA et C'A', sur AB et A'B' n'y sont pas
représentés. On dispose des égalités DB/DC = D'B'/D'C', EC/EA = E'C'/E'A', FA/FB = F'A'/F'B' . Dans le triangle ABC où AD, BE, CF sont concourantes le théorème de Céva donne
(DB/DC).(EC/EA).(FA/FB) = – 1 .
La réciproque : sachant que (D'B'/D'C').(E'C'/E'A').(F'A'/F'B') = – 1 on déduit que A'D', B'E', C'F' sont concourantes.
