Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle ABC, on trace les médiatrices des trois côtés BC,CA et AB et on prend
respectivement les trois points quelconques D,E,F sur ces médiatrices. Démontrer que les
perpendiculaires à EF,FD et DE passant respectivement par A,B et C sont concourantes.
Généralisation pour les plus courageux: démontrer que si les perpendiculaires menées des sommets
d'un triangle ABC aux côtés correspondants d'un triangle A'B'C' sont concourantes, alors les
perpendiculaires menées des sommets du triangle A'B'C' aux côtés correspondants de ABC sont
concourantes
Soit O le centre du cercle circonscrit, et M l’intersection des perpendiculaires à EF et FD menées respectivement par A et B.
Les produits scalaires suivants sont donc nuls : OD.BC=OE.CA=OF.AB=0 Donc OD.MB=OD.MC, OE.MA=OE.MC et OF.MA=OF.MB
Par ailleurs, MA.EF=MB.FD=0 donc MA.OE=MA.OF, MB.OD=MB.OF
Donc OE.MC=MA.OF, OD.MC=OF.MA : MC.OD=MC.OF donc MC.FD=0 : la perpendiculaire à FD menée par C passe par M.
Cette démonstration, qui fait simplement intervenir le fait que OD, OE et OF sont perpendiculaires respectivement à BC, CA et AB. se généralise immédiatement à trois perpendiculaires concourantes quelconques...
D1812 - Un point de rencontre
