D1812. Un point de rencontre
Dans un triangle ABC, on trace les m´ediatrices des trois cˆot´es BC,CA et AB et on prend respectivement les trois points quelconques D,E,F sur ces m´ediatrices.
D´emontrer que les perpendiculaires `a EF,FD et DE passant respectivement par A,B et C sont concourantes.
G´en´eralisation pour les plus courageux: d´emontrer que si les perpendiculaires men´ees des sommets d’un triangle ABC aux cˆot´es correspondants d’un triangle A’B’C’ sont concourantes, alors les perpendiculaires men´ees des sommets du triangle A’B’C’ aux cˆot´es correspondants de ABC sont concourantes.
Q1 : Les 3 cercles :
- de centre D, passant par Bet C, - de centre E, passant par C et A, - de centre F, passant par AetB,
ont comme axes radicaux 2 `a 2 les perpendiculaires aux cot´es deDEF passant par les sommets deABC : ces droites sont donc concourantes.
Q2 : Si H le point commun aux perpendiculaires aux cot´es de ABC passant parA0,B0,C0, il existe une infinit´e de triangles homoth´etiques `aABC qui ad- mettentH comme centre du cercle circonscrit; et r´eciproquement avec le point commun aux perpendiculaires aux cot´es deA0B0C0 passant par A,B, C. On est ramen´e au probl`eme pr´ec´edent.
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