Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun

Enoncé D1816 (Diophante) A la recherche du point commun

Les médianes d’un triangle ABC se rencontrent au centre de gravité G.

On trace les trois cercles respectivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet à G et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets. Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je transforme le cercle passant par les milieux de AG, AB, AC par une homothétie de centre G et de rapport −2 ; le cercle obtenu γ_A passe par B, C et le symétriqueA⁰deApar rapport àG. Je fais de même pourγBet γC. Le point commun de l’énoncé, transformé par la même homothétie, est le point commun aux cerclesγ_A,γ_B,γ_C. Réciproquement, si ces 3 cercles ont un point commun (ce que je vais prouver), le transformé de ce point par l’homothétie de centre G et de rapport −1/2 est le point commun demandé par l’énoncé.

Je travaille en coordonnées barycentriques de base A, B, C. La droiteBC d’équation x= 0 est axe radical deγA et du cercle circonscrit au triangle ABC; son équation est de la forme

−a²yz−b²zx−c²xy+lx(x+y+z) = 0.

Le coefficient l est déterminé par le passage en A⁰(−1/3,2/3,2/3)), don- nant l= 2(b²+c²−2a²)/3.

L’équation de γA peut ainsi s’écrire

−3a²yz−3b²zx−3c²xy+ 2x(x+y+z)(b²+c²−2a²) = 0.

L’équation de γ_B s’écrit de même

−3a²yz−3b²zx−3c²xy+ 2y(x+y+z)(c²+a²−2b²) = 0.

Les coordonnées d’un point commun aux deux cercles vérifient

x(b²+c²−2a²) =y(c²+a²−2b²), relation qui est l’équation de la droite, passant parC, axe radical des deux cercles.

Je mets à profit cette relation pour réécrire l’équation deγ_A

−3a²yz−3b²zx−3c²xy+ 2x(y+z)(b²+c²−2a²) + 2xy(c²+a²−2b²) = 0, ou encore−3a²yz+zx(−3b²+ 2b²+ 2c²−4a²) +

+xy(−3c²+ 2b²+ 2c²−4a²+ 2c²+ 2a²−4b²) = 0, c’est à dire

−3a²yz+ (2c²−4a²−b²)zx+ (c²−2a²−2b²)xy = 0.

Considérant un point commun extérieur àBC et CA, on peut multiplier chaque terme par le facteur (b²+c²−2a²)/y = (c²+a²−2b²)/x, ce qui donne

−3a²z(b²+c²−2a²) +z(c²+a²−2b²)(2c²−4a²−b²) + +y(c²+a²−2b²)(c²−2a²−2b²) = 0.

Le coefficient de z se factorise en (c²−2a²−2b²)(2c²−a²−b²), ce qui montre que le point d’intersection deγ_A et γ_B autre que C se trouve sur la droite d’équationz(a²+b²−2c²) =y(c²+a²−2b²).

Cette droite passant par A est l’axe radical des cercles γB et γC; ainsi le point a même puissance 0 par rapport à γ_C que par rapport à γ_B. Appartenant aux trois cercles, c’est l’homothétique du point considéré par l’énoncé, et ses coordonnéesx, y, z sont données par

(a²+b²−2c²)(a²+c²−2b²)/x= (b²+a²−2c²)(b²+c²−2a²)/y=

= (c²+a²−2b²)(c²+b²−2a²)/z= 3(b²c²+c²a²+a²b²−a⁴−b⁴−c⁴).

Les coordonnées du point commun de l’énoncé sont (1−2x,1−2y,1−2z).