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D1816 - A la recherche du point commun

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Academic year: 2022

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Les médianes d'un triangle ABC se rencontrent au centre de gravité G. On trace les trois cercles respectivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet à G et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets. Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun.

Soit G le centre de gravité, D, E, F les milieux de BC, CA, AB, et H, I, J ceux de GA, GB et GC : DJEHFI est un hexagone de centre G, avec les cotés opposés parallèles.

Si K est le point commun des cercles (EHF) et (FID), on a les égalités angulaires (KF, KE)=(HF,HE)=(JD,HE), (KF, KD)=(FI, ID)=(FI, HE) donc

(KE, KD)=(KF, KD)-(KF, KE)=(FI, HE)-(JD, HE)=(FI, JD)=(EJ, JD)

K appartient donc au cercle (DJE) ; (EHF), (FID) et (DJE) ont le point K en commun.

D1816 - A la recherche du point commun

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