D1816. A la recherche du point commun
Les médianes d'un triangle ABC se rencontrent au centre de gravité G. On trace les trois cercles passant respectivement par le milieu du segment joignant un sommet à G et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets.
Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun.
Avec des coordonnées trilinéaires relatives au triangle ABC, l'équation du cercle ABC est :
a²yz+b²zx+c²xy=0 et l'équation d'un cercle quelconque est a²yz+b²zx+c²xy+(x+y+z)(px+qy+rz) = 0 (**) (cf page 80 du livre de J.D. EIDEN).
Les coordonnées du milieu de AG sont (4,1,1). Celles de milieux de AB et AC sont (1,1,0) et (1,0,1).
Trouver l'équation du cercle qui passe par ces trois points consiste à trouver p,q, et r.
En reportant dans(**) les coordonnées des trois points on obtient les trois équations : a² + 4b² + 4c² + 6(4p+q+r) = 0, c² + 2 (p+q) = 0 , b² + 2(p+r) = 0
et en remplaçant dans la première de ces équations q par – (c²/2+p) et r par – (b²/2+p) on obtient : p = – (a²+b²+c²)/12 puis q = (a²+b² – 5c²)/12 et r = (a²+c² – 5b²)/12
L'équation de ce premier cercle est donc :
a²yz+b²zx+c²xy+(x+y+z)[– (a²+b²+c²)x + (a²+b² – 5c²)y +(a²+c² – 5b²)z] /12= 0 Si les trois cercles ont un point commun, c'est leur centre radical.
De façon générale l'axe radical de deux cercles définis par a²yz+b²zx+c²xy+(x+y+z)(px+qy+rz) = 0 et a²yz+b²zx+c²xy+(x+y+z)(p'x+q'y+r'z) = 0 est la droite définie par (p-p')x + (q-q')y + (r-r')z = 0
Sans tenir compte du coefficient 1/12, chacun des trois cercles est associé à un triplet :
A { – (a²+b²+c²) ; (a²+b² – 5c²) ; (a²+c² – 5b²)} et par permutation circulaire sur (a,b,c) et (p,q,r) B {(b²+a² – 5c²) ; – (a²+b²+c²) ; (b²+c² – 5a²)}
C {(c²+a² – 5b²) ; (c²+b² – 5a²) ; – (a²+b²+c²) }
D = 1/2(ligne A – ligne B) : (a²+b²–2c²)(y–x) + (3a²–3b²)z = 0 E = 1/2(ligne B – ligne C) : (3b² – 3c²)x +(2a²–b²–c²)(y–z) = 0 [D et E sont les équations de 2 axes radicaux]
De E on tire x = (2a²–b²–c²)(z–y) / (3(b²–c²)) qu'on reporte dans D, il vient alors :
y
z
=(a
2− 2b
2+ c
2)
2(a
2+b
2− 2c
2)
2On peut finalement vérifier que les trois cercles ont un point commun M dont les coordonnées sont : x= (c²+b²–2a²)² y=(a²+c²–2b²)² z=(b²+a²–2c²)²
On peut vérifier que ces coordonnées du point M annulent l'expression x²+y²+z² – 2(yz+zx+xy) donc le point commun aux trois cercles appartient à l'ellipse de Steiner inscrite dans le triangle.
