D1816. A la recherche du point commun
Les médianes d'un triangle 𝐴𝐵𝐶 se rencontrent au centre de gravité 𝐺. On trace les trois cercles
respectivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet à 𝐺 et par les pieds des médianes issues des deux autres sommets. Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
On introduit un repère orthonormé d’origine 𝐺, et on note 2𝑎, 2𝑏, 2𝑐 les affixes de 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Les affixes des milieux des segments joignant 𝐺 aux sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 sont alors 𝑎, 𝑏, 𝑐 et les affixes des pieds des médianes issues de 𝐴, 𝐵, 𝐶 sont alors −𝑎, −𝑏, −𝑐
{
𝑎, −𝑏, −𝑐, 𝑥 cocycliques⟺𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑏×𝑥 + 𝑐
𝑎 + 𝑐∈ ℝ∗ 𝑏, −𝑐, −𝑎, 𝑥 cocycliques⟺𝑏 + 𝑐
𝑥 + 𝑐×𝑥 + 𝑎 𝑏 + 𝑎∈ ℝ∗
⇒ (𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑏×𝑥 + 𝑐
𝑎 + 𝑐) × (𝑏 + 𝑐
𝑥 + 𝑐×𝑥 + 𝑎 𝑏 + 𝑎) ∈ ℝ∗
⇒𝑐 + 𝑎 𝑥 + 𝑎×𝑥 + 𝑏
𝑐 + 𝑏∈ ℝ∗⟺ 𝑐, −𝑎, −𝑏, 𝑥 cocycliques Les trois cercles se coupent donc en un point d’affixe 𝑥.
B
G A
C a
-a b
-b
c -c
x
