D1816. A la recherche du point commun ****
Les médianes d’un triangleABCse rencontrent au centre de gravitéG. On trace les trois cercles respec- tivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet àGet par les pieds des médianes issues des deux autres sommets. Démontrer que ces cercles se coupent en un point commun.
Solution de Claude Felloneau
A
B C
C0
A0 B0 G B1
A1
C1 C2
C3 C1
Il s’agit de démontrer que les cerclesC1,C2,C3ont un point commun.
Cela revient à démontrer que les cerclesC10,C20,C30images respectives des cerclesC1,C2,C3par l’homo- thétie de centreGet de rapport−2 ont un point commun.
OrC10est le cercle passant parB,C et le symétriqueA2deGpar rapport au milieuA0de [BC]. De même C20 est le cercle passant parC,Aet le symétriqueB2deGpar rapport au milieuB0de [AC], etC30 est le cercle passant parA,Bet le symétriqueC2deGpar rapport au milieuC0de [AB].
A
B C
G C2
A2 B2 C10
C20
I
Il s’agit de démontrer queC30passe parI c’est-à-dire que les points A,B,C2,I sont cocycliques. Il suffit donc d’établir que les angles de droites (àI A,I B) et (Cá2A,C2B) sont égaux.
On a (àI A,I B)=(àI A,IC)+(àIC,I B).
Or (àI A,IC)=(Bá2A,B2C) carC,A,B2,Isont cocycliques.
Par définition deB2,−−→
B2A=−−→
CGet−−→
B2C=−→
AG, donc (àI A,IC)=(áGC,G A).
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De même, (àIC,I B)=(Aá2C,A2B)=(GBá,GC).
Donc (àI A,I B)=(áGC,G A)+(áGB,GC)=(áGB,G A).
Or par définition deC2,C−−→2A=−−→BGetC−−→2B=−→AG, donc (Cá2A,C2B)=GBá,G A).
On obtient finalement (àI A,I B)=Cá2A,C2B).
Ainsi appartient àC30.
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