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D1816. A la recherche du point commun

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D1816. A la recherche du point commun

D,E etF : pieds des m´edianes issues deA,B etC L, M et N : milieux des segmentsAG,BGetCG Γa,Γb et Γc : cercles circonscrits `a ELF,F M D etDN E SoitP l’intersection de Γaet Γb :

surΓa EP F\ =ELF\ =M DN\ surΓb F P D\ =F M D\ =N EL\

DP E\ =π−(EP F\+F P D)\

=π−(\ELF +F M D)\

=π−(M DN\ +F M D)\

=DN E\

DoncP appartient aussi `aΓc.

n.b; : l’hexagoneDN ELF M a ses cˆot´es oppos´es parall`eles; leurs intersections sont align´ees sur la droite de l’infini, il est donc inscrit dans une ellipse qui est elle-mˆeme inscrite dans ABC (th´eor`eme de Brianchon appliqu´e `a ABC avec 3 points doubles). P appartient aussi `a l’ellipse.

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