D 1816 A la recherche du point commun

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D 1816 A la recherche du point commun Solution proposée par Pierre Renfer

On utilise les coordonnées barycentriques par rapport au repère affine (A, B, C).

Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

Soient A’, B’, C’ les mileux respectifs des côtés [BC], [CA] , [AB].

Soient A’’, B’’, C’’ les mileux respectifs des côtés [AG], [BG] , [CG].

Les coordonnées de ces points sont :

1 1 1

G 1 1 0 '

A 1

0 1 '

B 0 1 1 '

C 1 1 4 ''

A 1 4 1 ''

B

4 1 1 '' C

Soientt ₁, ₂, ₃ les cercles (A’’, B’, C’), (B’’, C’, A’), (C’’, A’, B’) respectivement.

Ces cercles ont pour équation respectivement :

































0 ) z w y v x u ( ) z y x ( xy c zx b yz a

3 3 2 3

2 2

2 2 2

2

1 1 2 1

2 2

On trouve les coefficients u_i, v_i, w_i en remplaçant, dans chaque équation, x, y, z par les coordonnées des trois points particuliers du cercle :































2 2 1 2

c b 5 a w 12

c 5 b a v 12

c b a u 12































2 2 2 2

c b a 5 w 12

c b a v

12

c 5 b a u 12































2 2 3 2

c b a w 12

c b a 5 v 12

c b 5 a u 12

L’axe radical des cercles ₁ et ₂ a pour équation : (u₁u₂)x(v₁v₂)y(w₁w₂)z0 Cette équation s’écrit : (a²b² 2c²)x(a² b² 2c²)y(3a² 3b²)z0

Les trois axes radicaux de ₁ et ₂, de ₂ et ₃, de ₃ et ₁ ont pour équations respectives :



















































0 z ) c b 2 a ( y ) a 3 c 3 ( x ) c b 2 a (

0 z ) c b a 2 ( y ) c b a 2 ( x ) c 3 b 3 (

0 z ) b 3 a 3 ( y ) c 2 b a ( x ) c 2 b a (

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

En résolvant le système on trouve les coordonnées du centre radical P des trois cercles.

(2)

On obtient :

2 2 2 2

) c 2 b a (

) c b 2 a (

) c b a 2 ( P











On vérifie que ces coordonnées satisfont aux équations des trois cercles.

Le point P est donc commun aux trois cercles.