D1903 – Echange de politesse
Solution proposée par Pierre Renfer 1) Coordonnées barycentriques
On utilise le repère affine (A,B,C).
Soient ,, les angles du triangle ABC.
Les points D et E sont les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC) respectivement.
L'orthocentre K du triangle ABC a pour coordonnées barycentriques (tan(),tan(),tan()) Le point H a pour coordonnées barycentriques (0,tan(),tan())
L'équation de la hauteur , issue de C, est : xtan( ) ytan( ) 0 )
tan(
1 z
) tan(
0 y
) tan(
0 x
Soit le point à l'infini de cette hauteur.
Le point a pour coordonnées homogènes (tan(),tan(),-tan()-tan()) La droite (HD), qui est parallèle à , passe par .
Donc (HD) a pour équation : 0
) tan(
) tan(
tan(
z
) tan(
) tan(
y
) tan(
0 x
En utilisant l'égalité tan()tan()tan()tan()tan()tan(), on obtient pour (HD) l'équation : 0
) tan(
z ) tan(
y ) tan(
) ( tan
x 2
Donc le point D a pour coordonnées barycentriques (1,tan2(),0) ou (cos2(),sin2(),0) De façon symétrique, le point E a pour coordonnées barycentriques (cos2(),0,sin2())
2) Affixes complexes
On choisit comme unité de longueur le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
On choisit un repère orthonormé tel que les affixes de A,B,C soient 1, e2i, e2i respectivement.
Le point D a pour affixe : ucos2()sin2()e2i Le point E a pour affixe : vcos2()sin2()e2i La différence des parties réelles de ces affixes est :
0
) ( cos )) ( cos 1 ( ) ( cos ) ( cos )) ( cos 1 ( ) ( cos
)) ( sin ) ( (cos ) ( sin ) ( cos )) ( sin ) ( (cos ) ( sin ) ( cos
) 2 cos(
) ( sin ) ( cos ) 2 cos(
) ( sin ) ( cos ) v Re(
) u Re(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Donc la droite (DE) est est bien perpendiculaire à la droite (OA).
