D 1882 Directions à respecter (deuxième partie) Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.
Dans la première partie, j’ai utilisé pour désigner des nombres.
Je noterai donc U, V, W les intersections de avec (AP), (BQ), (CQ) respectivement.
RAPPEL DE LA SOLUTION DE LA PREMIERE PARTIE
Préliminaires : Les involutions de la droite de l’infini
Soit A la matrice :
0
A 0
0
avec : 0
Soit V un point de la droite de l’infini, de coordonnées x y z
, avec x y z 0
Alors le point A V appartient encore à la droite de l’infini.
Le polynôme caractéristique de A est : X X (
2 )I
Le vecteur propre, pour la valeur propre 0, a pour coordonnées
Il n’appartient pas à la droite de l’infini.
Les autres vecteurs propres appartiennent à la droite de l’infini et la restriction de A à cette droite est une involution.
L’involution canonique , qui à un point à l’infini d’une direction de droite associe le point à l’infini de la direction orthogonale, possède la matrice S suivante :
:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 a b c (a b c )
S ( a b c ) 0 a b c
a b c (a b c ) 0
On va chercher la matrice de l’involution f, qui à un point à l’infini d’une direction de droite associe le point à l’infini de la direction symétrique par rapport à l’axe 1
L’involution f laisse fixes le point à l’infini de 1 et le point à l’infini ( ) de 2
Les coordonnées de et sont :
u v w
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
u' (a b c )v (a b c )w ( ) v (a b c )w ( a b c )u
w ( a b c )u (a b c )v
La colinéarité des vecteurs et A s’exprime par : u2 v2 w2 0 La colinéarité des vecteurs et A ( ) s’exprime par : u'2 v '2 w'2 0
On en déduit :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
v w ' w v ' w u' u w ' u v ' v u'
QUESTION 1
Soit U le point à l’infini de la droite (BC). Ses coordonnées sont :
0 U 1
1
Le point à l’infini de la droite (AA’) est alors f(U), de coordonnées : (f U)
L’équation de la droite (AA’) est :
x 1
y 0 y z 0
z 0
On obtient par permutation circulaire sur les coordonnées et sur : 0
A'
ou 1
1
0 A'
B' 0
ou
1
1
B' 0
C' 0
ou
1
C' 1
0
Les droites (AA’), (BB’), (CC’) se coupent donc au point P, de coordonnées :
1 1 1
P
ou P
QUESTION 3
La droite (A’B’) a pour équation : 2
x 0
y 0 x y z 0
z
On en déduit les coordonnées de C’’, puis celles de A’’ et B ‘’ par permutation circulaire : 0
A''
B'' 0
C'' 0
Le déterminant dont les colonnes sont les coordonnées de ces trois points est nul.
Donc les points A’’, B’’, C’’ sont alignés.
QUESTION 2
On peut repérer le point U à l’infini à l’aide d’un seul paramètre réel t, pouvant prendre la valeur : u 1
U v t w t 1
Les calculs des préliminaires donnent :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4(bt b ct)(bt b ct)(a t b t c t a t b ) 4(at a c )(at a c )(a t b t c t a t b )
4(at b)(at b)(a t b t c t a t b )
En simplifiant par homogénéité, on se ramène à :
(bt b ct)(bt b ct) (at a c )(at a c ) (at b)(at b)
On remarque que : a2 b2 c2 0 ou
2 2 2
a b c 0
Cette dernière égalité montre que les coordonnées de P vérifient l’équation du cercle (ABC).
SOLUTION DE LA DEUXIEME PARTIE
L’équation de est : 2
x 0
y 0 x y z 0
z
ou x y z 0
On en déduit les coordonnées de U, V, W :
1 1 1
2 U
1 1 1
V 2
1 1
1
W 2
La relation
2 2 2
a b c 0
de la première partie montre que les coordonnées de U, V, W vérifient les équations respectives suivantes :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2a yz b zx c xy 0 a yz 2b zx c xy 0 a yz b zx 2c xy 0
Les lieux de U, V, W sont donc des coniques, plus précisément des hyperboles.
En effet, on vérifie que la droite de l’infini, d’équationx y z 0 , coupe ces coniques en deux points réels (En remplaçant z par x y, on obtient des équations du second degré en x, y, avec déterminant strictement positif).
On voit aisément les quatre points communs aux trois hyperboles sont A, B, C et le point de Lemoine L du triangle ABC, de coordonnées :
2 2 2
a L b c
