D 1863 Alignement à pente moitié Solution proposée par Pierre Renfer
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).
On notera a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
1) Equation de l’axe radical
Une équation de cercle est de la forme : a yz b zx c xy (x y z)2 2 2 (ux vy wz) 0
Pour le cercle (BM M )a b , on trouve les constantes u, v, w en écrivant que les coordonnées des trois points vérifient l’équation :
L’équation du cercle (BM M )a b est :
2 2 2
2 2 2 a b a
a yz b zx c xy (x y z) x z 0
2 2
En échangeant b et c, y et z, on en déduit l’’équation du cercle (CM M )a c L’équation du cercle (CM M )a c est :
2 2 2
2 2 2 a c a
a yz b zx c xy (x y z) x y 0
2 2
La différence membre à membre des équations de ces cercles donne l’équation de leur axe radical :
2 2 2 2
(b c )x a y a z 0 (1)
Le point de Lemoine L a pour coordonnées :
2 2 2
a L b c Ces coordonnées vérifient l’équation (1).
Donc le point L appartient à l’axe radical.
2) Coordonnées des autres points
Le pied H de la hauteur, issue de A, a pour coordonnées : 2 2 2
2 2 2
0
H a b c a b +c
Le point , à l’infini sur la droite (AH), a donc pour coordonnées :
2
2 2 2
2 2 2
2a H a b c
a b +c
C’est aussi le point à l’infini de la médiatrice de [BC].
L’équation de cette médiatrice est donc :
2
2 2 2
2 2 2
x 0 2a
y 1 a b c 0 z 1 a b c
Cette équation s’écrit : (b2c )x a y a z 02 2 2
On en déduit les coordonnées des points D et D0 :
2
2 2
a D 0
b c
2
2 2
0
a D c b
0
Les parallèles à (BC) passent par le point à l’infini de (BC), de coordonnées (0, 1, -1)
La parallèle passant par D a pour équation :
2
2 2 2 2
2 2
x 0 a
y 1 0 0 (b c )x a y a z
z 1 b c
La parallèle passant par D0 a pour équation :
2
2 2 2 2 2 2
x 0 a
y 1 c b 0 (c b )x a y a z
z 1 0
On en déduit les coordonnées des points E et E0 :
2
2 2
a E b c
0
2
0
2 2
a E 0
c b Ces coordonnées vérifient l’équation (1).
Donc les points E et E0 appartiennent à l’axe radical.
