D 1856 Un résultat très curieux
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note comme d’habitude a, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB.
On connaît les coordonnées barycentriques des cinq points G, I, N, O, H :
1 1 1 G
c b a I
c b a
c b a
c b a N
) c b a ( c
) c b a ( b
) c b a ( a O
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b a ( H
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
Le point est le milieu de [OH].
Les coordonnées de O et H ont la même somme S(abc)( abc)( abc)( abc) On obtient donc les coordonnées de en additionnant celles de O et celles de H :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
) b a ( ) b a ( c
) a c ( ) a c ( b
) c b ( ) c b ( a
1) Parallélisme des droites (NO) et (I)
On connaît l’alignement des quatre points G, O, H, sur la droite d’Euler.
L’homothétie h, de centre G, de rapport 2
1, transforme H en O et O en . Cette homothétie transforme aussi N en I : GN2GI
Pour le montrer, on donne aux points G, I, N des coordonnées de même somme 3(abc) :
c b a
c b a
c b a G
3c 3b 3a I
) c b a 3(
) c b a 3(
) c b a 3(
N
Par différences, on trouve :
4c 2b 2a
2c 4b 2a
c 2 b 2 a 4 GN
et
2c b a
c 2b a
c b a 2 GI
La droite (I) et donc parallèle à la droite (NO) dont elle est l’image par h.
2) Une caractérisation de l’orthogonalité de vecteurs
Soient P, Q, P’, Q’ quatre points de coordonnées barycentriques suivantes, de sommes 1 :
1 1 1
w v u P
2 2 2
w v u Q
1 1 1
w' v' u' ' P
2 2 2
w' v' u' '
Q avec :
1 ' w ' v u' ' w ' v u'
1 w v u w v u
2 2 2 1 1 1
2 2 2 1 1 1
On pose :
1 2
1 2
1 2
w w z
v v y
u u x
1 2
1 2
1 2
' w w' z'
' v v' y'
' u u' x'
Alors :
AC z AB y PQ
AC w AB v AQ
AC w AB v AP
2 2
1 1
AC ' z AB ' y Q' P'
AC ' w AB ' v AQ'
AC ' w AB ' v AP'
2 2
1 1
Et :
) c b a ( ) ' zy ' yz ( 2 b ' zz 2 c ' yy 2
A cos bc ) ' zy ' yz ( 2 b ' zz 2 c ' yy 2
AC AB ) ' zy ' yz ( 2 b ' zz 2 c ' yy 2
AC AB ) ' zy ' yz ( 2 b ' zz 2 c ' yy 2 Q' P' PQ 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
Les deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ce poduit scalaire est nul.
3) Conclusion
La somme des coordonnées de O est égale à : S(abc)( abc)( abc)( abc)
Les coordonnées, de même somme S, pour N sont :
) c b a ( ) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b a ( ) c b a (
) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( N
2 2 2
En utilisant les notations (x,y,z) ci-dessus pour le vecteur
NO, on obtient :
) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( c z S
) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( b y S
) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( a x S
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
Les points I et N ont des coordonnées de même somme abc
En utilisant les notations (x’,y’,z’) ci-dessus pour le vecteur IN, on obtient :
c 2 b a ' z ) c b a (
c b 2 a ' y ) c b a (
c b a 2 ' x ) c b a (
En calculant le produit scalaire
NO IN avec la formule ci-dessus, on obtient le joli résultat :
c b a
) c 2 b a ( ) c b 2 a ( ) c b a 2 IN (
NO
2
Les droites (NO) et (I) sont orthogonales à la droite (IGN) si est seulement si ce produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seulement si l’une des suites (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c) est arithmétique.
