D 1892 Un ratio très rationnel Solution proposée par Pierre Renfer On choisit BC comme unité de longueur. Donc . On utilise comme paramètre l’angle Alors :

(1)

D 1892 Un ratio très rationnel

Solution proposée par Pierre Renfer

On choisit BC comme unité de longueur. Donc a 1 . On utilise comme paramètre l’angle  ABC ACB^  ^

Alors : BAC 2 et BCE 2

      

(2)

Et : AB AC ¹ et AD ¹ 1 et CE cos et BE sin

2cos 2cos 2 2

 

     

 

Calcul du rayon r du cercle inscrit dans le triangle ABD Soit S l’aire et p le demi-périmètre du triangle ABD.

1 1

2S AB AD sin BAD 1 sin2

2cos 2cos

    

        

2p AB AD 2 BE 1 1 2sin

cos 2

       



Alors : r S 2S (1 2cos )sin

p 2p 2 1 cos 2cos sin 2

   

  

 

      

 

Calcul du rayon r’ du cercle inscrit dans le triangle BCE

Soit S’ l’aire et p’ le demi-périmètre du triangle ABD.

2S' CE BE sin cos

2 2

 

   

2p' BC CE BE 1 sin cos

2 2

 

     

Alors : r ' S' 2S' sin

p' 2p' 2 1 sin cos

2 2

   

  

   

 

Egalité des rayons

L’égalité des rayons s’écrit : (1 2cos ) 1 sin cos 1 cos 2cos sin

2 2 2

   

          

 

Si l’on exprime toutes les lignes trigonométriques en fonction de t tan 8

  , l’égalité devient :

5 4 3 2

3 t   5 t 26 t 10 t    3 t 1 0

Ce polynôme en t se factorise : (3 t 1)    (t 2 3 )(t 2   3 )(t 1   2 )(t 1   2 ) 0

Comme tan t tan

12 8

 

  , la seule racine possible du polynôme est : t ¹

 3

(3)

Valeur du ratio : r r ' ^{t (1 t ) 1}₂ 1 t 5

    

