D1892. Un ratio très rationnel
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AC > BC = a.
On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD.
Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r.
En déduire le ratio r/a.
Solution
La démonstration va utiliser la formule suivante permettant de calculer le rayon du cercle inscrit :
r = (P-a) Tan(A/2) [1]
avec P = ½ périmètre du triangle A = angle du sommet opposé au côté a
Le choix de l’unité étant quelconque, nous prenons BC = 10 (cela facilitera les notations).
Ensuite nous prenons comme variable de référence l’angle ECB = α.
Nous remarquons que tous les angles de cette figure s’expriment en fonction de α.
En particulier : (ACB) = 2α (ADB) = π/2 + α
Toujours pour faciliter la notation on pose : sin α = x
cos α = y tan (α/2) = t
Dans le triangle BCE : En utilisant la formule [1]
P1 = 5 (x+y+1)
r1 = 5 (x+y-1) [2]
Cherchons à évaluer les côtés du triangle ABD.
cos (BCD) = cos β = cos 2α = 1-2sin² α = 1-2x² AC = AB = (BC/2) / cos β = 5/(1-2x²)
CD = 10 (par construction) AD = AC – CD = (20x²-5)/(1-2x²) BD = 2 BE = 20 sinα = 20x ADB/2 = π/4 + α/2
Tan (ADB/2) = (1+Tan α/2)/(1-Tan α/2) = (1+t)/(1-t)
En résumé :
AB = 5/(1-2x²) AD = (20x²-5)/(1-2x²) BD = 20x
tan (ADB/2) = (1+t)/(1-t) D’où en utilisant la formule [1]
r2 = (10x-5)(1+t)/(1-t) [3]
Si r1 = r2, il faut d’après [2] et [3] :
5 (x+y-1) =
(10x-5)(1+t)/(1-t)Qui aboutit à l’équation :
-x+y-3tx-ty+2t = 0
r1
r2
Et en utilisant
t
tangente de l’arc moitié α pour exprimer x et y 3t3-7t²-t+1 = 0(3t-1)(t²-2t-1) = 0
Or π/3 < (ACB)=2α < π/2 → π/6 < α < π/4 → tan(π/12) < t < tan(π/8) → 0,27 < t < 0,42 Donc la seule racine qui convienne est t = 1/3
Il en résulte que : x =sin α = 0,6 y = cos α = 0,8 r1 = r2 = 2
BC = a avait été pris égal à 10
Donc quand le rayon des deux cercles sont égaux, le rapport r/a est égal à 1/5 = 0,2 On remarque que le triangle rectangle BCD est un triangle avec des proportions 3,4,5 classiques.
