D1892. Un ratio très rationnel Soit un triangle isocèle

D1892. Un ratio très rationnel

Soit un triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶 de sommet 𝐴 et de côtés 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 = 𝑎.

On trace le point 𝐷 sur le côté 𝐴𝐶 tel que 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑎 puis le point 𝐸 projection de 𝐶 sur 𝐵𝐷.

Les rayons des cercles inscrits des triangles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐵𝐶𝐸 sont égaux à une même valeur 𝑟.

En déduire le ratio 𝑟 𝑎⁄ .

Solution

Proposée par Fabien GIGANTE

Longueurs des côtés

On peut sans perte de généralité supposer que 𝑎 = 1.

On pose 𝜃 = 𝐵𝐶𝐸̂. On remarque que 𝜋

⁄ < 𝜃 < 𝜋 46 ⁄ . On note 𝐻 la projection de 𝐴 sur 𝐵𝐶.

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle en 𝐴 donc : 𝐵𝐻 = 𝐻𝐶 =1

2 Le triangle 𝐵𝐶𝐸 est rectangle en 𝐸 :

𝐶𝐸 = cos 𝜃 ; 𝐵𝐸 = sin 𝜃 Le triangle CBE est isocèle en C :

𝐵𝐷 = 𝐵𝐸 + 𝐸𝐷 = 2 sin 𝜃 Le triangle 𝐴𝐶𝐻 est rectangle en 𝐻 :

cos 2𝜃 =𝐻𝐶 𝐴𝐶 =1/2

𝐴𝐵

𝐴𝐵 = 1

2 cos 2𝜃 ; 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 − 𝐷𝐶 = 1

2 cos 2𝜃− 1

Rayons des cercles inscrits

On rappelle que le rayon du cercle inscrit d’un triangle de côtés 𝑥, 𝑦, 𝑧 et donné par : 𝑟²=(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

4 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) Il vient alors :

𝑟_𝐵𝐶𝐸²=(cos 𝜃 + sin 𝜃 − 1)(cos 𝜃 − sin 𝜃 + 1)(− cos 𝜃 + sin 𝜃 + 1)

4 (cos 𝜃 + sin 𝜃 + 1) =1

4(cos 𝜃 + sin 𝜃 − 1)²

𝑟_𝐴𝐵𝐷²=( 1

cos 2𝜃− 1 − 2 sin 𝜃) (1 + 2 sin 𝜃)(−1 + 2 sin 𝜃) 4 ( 1

cos 2𝜃− 1 + 2 sin 𝜃)

=(2 sin 𝜃 − 1)²(sin 𝜃 + 1)² 4 cos²𝜃

𝑟_𝐵𝐶𝐸=1

2(cos 𝜃 + sin 𝜃 − 1) ; 𝑟_𝐴𝐵𝐷=(2 sin 𝜃 − 1)(sin 𝜃 + 1) 2 cos 𝜃

Résolution du problème

L’égalité des deux rayons s’écrit alors :

(cos 𝜃 + sin 𝜃 − 1) cos 𝜃 = (2 sin 𝜃 − 1)(sin 𝜃 + 1) On pose 𝑡 = tan 𝜃 2⁄ . L’équation devient :

((1 − 𝑡²) + 2𝑡 − (1 + 𝑡²))(1 − 𝑡²) = (4𝑡 − (1 + 𝑡²))(2𝑡 + (1 + 𝑡²)) (3𝑡 − 1)(𝑡 + 1)(𝑡 − 1 − √2)(𝑡 − 1 + √2) = 0

On remarque que 𝜋

⁄ < 𝜃 < 𝜋 46 ⁄ ⇒ 𝑡 ∈ ]2 − √3; √2 − 1[.

La racine 𝑡 = 1/3 est l’unique solution de l’équation dans cet intervalle.

𝑟 =1

2(cos 𝜃 + sin 𝜃 − 1) =1

2(1 − 𝑡² 1 + 𝑡²+ 2𝑡

1 + 𝑡²−1 + 𝑡²

1 + 𝑡²) =𝑡(1 − 𝑡) 1 + 𝑡² =1

5 Le ratio recherché est 1/5.