Et, dans le triangle isocèle OAD les angles à la base, AOD=ADO

D1902. Triangles à cache-cache

Dans un triangle ABC ayant O pour centre du cercle circonscrit et H pour orthocentre, les angles aux sommets A,B et C valent respectivement 50°,70° et 60°. Sur le côté AC, on trace le point D tel que AD est égal au rayon du cercle circonscrit et sur le côté AB on trace le point E tel que DE = DA. Puis dans le triangle HBC, on trace les céviennes BJ,CK et HL qui se rencontrent en un point I situé à l’intersection de la médiatrice de BC et de la bissectrice de l’angle BCH en C.

Outre les triangles OAB,OBC,OCA,OAD,DAE et BIC isocèles par construction, identifier sept autres triangles isocèles. Justifier vos réponses.

EOD alignés : DAE = 50°, DEA=50°, donc ADE= 80°. Angle au centre AOB = 2. ACB = 120°

donc angle BAO = 30°, OAD= BAC-BAO = 50°- 30° = 20°. Et, dans le triangle isocèle OAD les angles à la base, AOD=ADO=(180°-20°)/2= 80°. Donc ADO=ADE=80° : EOD sont alignés.

L'avis de recherche porte sur 7 triangles isocèles.

Je trouve 8 triangles isocèles : EAH, OCH, BEH, BKI, HOD, HIJ ,KHI, EHL.

Soit R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

Triangle EAH : comparaison des longueurs AE et AH :

Dans le triangle isocèle ADE de base AE, on a AE = 2.AD. Cos = 2R. Cos 50°.

Si Q est le pied sur BC de la hauteur AH, on a AH = AQ – HQ.

AQ= AB sin B = 2R (sin 60°)(sin 70°) = R.√3 sin 70°

HQ= BQ .tan (angle CBH) = BQ tan(30°) = BQ / √3 ; mais BQ = AB cos 70° = (R√3 cos 70°) . HQ= R cos 70°.

AH= R.(√3 sin 70° - cos 70° ) = 2R. (sin 70° cos 30° - sin 30° cos 70°) = 2R sin (70°-30°) AH= 2R sin 40° = 2R cos 50° , enfin AH=AE et EAH est isocèle. (1)

Triangle OCH : CH = CQ / cos(angle BCH) = CQ / cos(20°) = AC cos(60°) / cos(20°)

CH = 2R sin(70°) cos(60°) / cos(20°) = 2R cos(60°) =R . Donc CH = CO et OCH est isocèle. (2) Triangle BEH:comparaison des angles en B et H :

Angle HBE =90° - angle BÂC = 90° - 50° = 40°.

Angle BHE = 180° - angle QHB – angle EHA = 180° - 60° - angle EHA = 120° - angle EHA.

Dans le triangle isocèle EAH, l'angle en  est le complément de l'angle ABC donc vaut 20°.

Et les angles à la base, HEA et EHA valent (180° - 20°) / 2 = 80°.

Finalement, Angle BHE = 120° - 80° = 40°. Angle en B = Angle en H et BEH est isocèle . (3) Triangle BKI : comparaison des angles en B et I :

IBK = CBH – CBI = 30° - BCI = 30° - (BCH)/2 = 30°- (20°)/2 = 20°.

Le triangle isocèle BIC a deux angles à la base égaux à 10° donc BIC = 180°-20°.

BIK est supplémentaire de BIC donc BIK = 20° IBK=BIK et le triangle BKI est isocèle. (4) Triangle HOD : on montre que OD=OH : L'angle BCA qui vaut 60° est partagé en 3 angles valant chacun 20° : BCH complémentaire de ABC vaut 90° - 70° = 20°. On a vu au début que OAD=20°.

Comme AOC est isocèle, OCA = OAC = 20°. Enfin HCO= BAC-BCH-OCA= 60-20-20 = 20°. Les triangles isocèles OAD et HCO ont un angle égal à 20° compris entre deux côtés égaux ( à R ), donc leurs bases OD et OH sont égales : HOD est isocèle. (5)

On va prouver que dans le triangle rectangle HQL, les angles en L et en H mesurent 50° et 40°.

A défaut d'astuce géométrique, prenons un repère d'origine P milieu de BC. Posons BC= 2a.

Les coordonnées de I sont (0, a tan(10°)).

L'abscisse de H vérifie : (x+a) tan (30°) = (x-a) tan (-20°).

D'où x = a tan(20°)−tan(30°)

tan(20°)+tan(30°) = – a sin(10°)

sin(50°) = – R sin(10°) on a déjà calculé HQ = R cos(70°),

d'où yH – yI = R cos(70°) - a tan(10°) = R[ cos(70°) - sin(50°) tan(10°) ] tandis que xH – xI = – R sin(10°)

La pente de la droite HIL est m = yH – yI

xH – x I = ^{cos(70°)−sin(50°). tan(10°)}

−sin(10°) m = cos(70°)cos(10°)−sin(50°).sin(10°)

−sin(10°)cos(10°) = cos(80°)+cos(60°)−cos(40°)+cos(60°)

−2 sin(10°)cos(10°)

m = 1+cos(80°)−cos(40°)

−sin(20°) = 2(cos(40))²−cos(40°)

−sin(20°) = (2 cos(40°)−1)cos(40°)

−sin(20°)

m = (4cos²(20°)−3)cos(40°)

−sin(20°) = ^{cos(60°)cos(40°)}

−sin(20°)cos(20°) [ car 4cos³a -3cosa = cos 3a ]

m = ^cos(40°)

−sin(40°) = -cotan (40°) = - tan (50°)

donc, dans le triangle rectangle HQL, les angles en L et en H mesurent 50° et 40°.

Dès lors, QHC= 70° et QHL= 40°, IHC = QHC-QHL, donc IHC = 30° .

D'autre part dans le triangle BJC les angles en B et C valent 10° et 20°, donc angle en J = 180°-30°.

D'où angle BJH = 30°. Le triangle HIJ est isocèle car (angle IHJ ) = ( angle HIJ) (6)

Triangle KHI : comparaison des angles en K et I :

Dans le triangle BKC les angles en B et C valent 30° et 10° donc angle CKH = 30° + 10° = 40°.

(HI,KI) = (HL,QL) + (BC,KC) = 50° - 10° = 40° . Donc HIK = 40° . Le triangle KHI est isocèle (7)

Triangle EHL : comparaison des longueurs EH et HL :

En page 1 on a trouvé AE = 2R cos(50°), EH = 2 AE.sin(10°) = 4 R sin(10°) cos(50°).

En page 2 on a trouvé HQ = R cos(70°) d'où HL = R cos(70°) / cos(40°)

Il faut étudier 4 sin(10°) cos(50°) cos(40°) = (2 sin(10°)) .[ 2 cos (50°) cos (40°) ]

= ( 2 sin 10°).[ cos 90° + cos 10°] = 2 sin 10° cos 10° = sin 20° = cos 70°.

On a bien 4 sin(10°) cos(50°) = cos(70°) / cos(40°) Enfin HE=HL. Le triangle EHL est isocèle (8)