D10487. Tri-isocèle
Le triangleABC est isocèle, et le segmentAD le partage en deux triangles isocèles. Quelles sont les formes possibles pour ce triangle ?
Solution
Supposons d’abord que les anglesBetCsont égaux. AlorsAB=AC > AD.
ABD étant isocèle,DB=DAou AB; de même pourACD,DC =DAou AC.
SiDA=DB =DC, (DC, DA) =π−2C= (DA, DB) =π/2 ;B, A, C sont trois sommets consécutifs d’un carré de centreD(solution S1).
SiDA=DB etDC =AC, (DC, DA) = 2B = (π−C)/2 = 2π/5 ; B, A, C sont les sommets consécutifs E1, E2, E3 d’un pentagone régulier convexe, D=E1E3∩E2E5 (solutionS2).
De même siDB=AB etDA=DC, par échange deB etC.
Supposons maintenant que les angles égaux sont A et B (le cas A = C étant équivalent). AlorsCA=CB > CDetDA > DB.ABD étant isocèle, AB=DA ou DB; de même pour ACD,DA=DC ou AC.
Si DA = AC, A se projette au milieu de CD et DB < AB; AB = DA ramènerait au premier cas (AB =AC) et est impossible. Ainsi DA =DC siA=B.
Si AB = DA, B = (DA, DB) = 2C = A =π −3C = 2π/5 ; B, A, C sont les sommetsE1, E2, E4 d’un pentagone régulier convexe, D=E1E4∩E2E5 (solutionS3).
Si AB = DB, B = (π −C)/2 = π −2(DA, DB) = π −4C = 3π/7 ; B, A, C sont les sommets F1, F2, F5 d’un heptagone régulier convexe, D = F1F5∩F2F6 (solutionS4).
Il y a donc 4 solutions, à symétrie ou similitude près.
