D265. Une propriété biséculaire
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la
triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Solution proposée
Préambule
Le polygone à 2016 côtés est un cas particulier. Nous raisonnerons bien sûr sur le cas général d’un polygone à
n
côtés.Le polygone sera partagé en n-2 triangles.
Rappel du théorème japonais
Nous allons redémontrer et utiliser ce théorème
Soit ABCD un quadrilatère inscriptible quelconque et M1, M2, M3 et M4 les centres des cercles inscrits dans les 4 triangles ABD, ABC, BCD et ACD
On démontre d’abord que le quadrilatère M1M2M3M4 est un rectangle, pour parvenir ensuite à montrer que la somme des rayons des cercles inscrits de centre M1 et M3 est égale à la somme des rayons des cercles inscrits de centre M2 et M4
Démonstration :
D’après la somme des angles dans un triangle et les bissectrices : (M2A,M2B) = π - ½ (AC,AB) - ½ (BC,BA) = π/2 + ½ (CA,CB)
(M1A,M1B) = π - ½ (AD,AB) - ½ (BD,BA) = π/2 + ½ (DA,DB)
Or (CA,CB) = (DA,DB) (ils interceptent le même arc AB du cercle circonscrit) Donc (M2A,M2B) = (M1A,M1B)
Donc A, M1, M2 et B sont cocycliques
Donc (M1A,M1M2) = π – (BA,BM2) = π – ½ (BA,BC) [1]
Avec le même raisonnement A, M1, M4 et D sont cocycliques Donc (M A,M M ) = π – (DA,DM ) = π – ½ (DA,DC) [2]
A
B C D
M
4M
1M
3M
2P R
S Q
O
(M1M4,M1M2) = 2π – ½ (BA,BC) – ½ (DA,DC) = 2π – π/2 = 3π/2
Le même raisonnement sur les autres sommets permet de conclure que M1M2M3M4 est un rectangle Construisons les parallèles à chacune de diagonales passant par M1, M2, M3 et M4 (voir schéma)de façon à former un parallélogramme.
Démontrons que le triangleM1M2P est isocèle en P ainsi que les autres triangles de même nature, ce qui implique que le parallélogramme est un losange.
(M2P,M2M1) = π - (KM1,KA) (M1P,M1M2) = π - (LM2,LB)
= π - { π – (M1K,M1A) - (AK,AM1)} = π - { π – (M2L,M2B) - (BL,BM2)}
= π - { π - (BA,BM2) - {(AC,AB) - (AM1,AB)} } = π - { π - (AB,AM1) - {(BD,BA) - (BM2,BA)} } = π - { π - (BA,BC)/2 - (AC,AB) + (AD,AB)/2 } = π - { π - (AB,AD)/2 - (BD,BA) + (BC,BA)/2 }
= π - { π - (BA,BC)/2 - { π - (CA,CB) - (BA,BC) } + (AD,AB)/2 } = π - { π - (AB,AD)/2 - { π - (DB,DA) - (AB,AD) } + (BC,BA)/2 }
= π - (CA,CB) - (BA,BC)/2 - (AD,AB)/2 = π - (DB,DA) - (AB,AD)/2 - (BC,BA)/2 = π - (CB,CA) - (AB,AD)/2 - (BC,BA)/2
Ainsi est démontré l’égalité des angles en utilisant les diverses propriétés de parallélisme, somme dans un triangle, points cocycliques et angles inscrits.
Dans un losange les distances entre les côtés opposés sont identiques, or chacune d’elle est égale à la somme des rayons des cercles de centre M1 et M3 d’une part et des rayons des cercles de centre M2 et M4 d’autre part.
Conclusion : Dans un quadrilatère inscriptible partagé en deux triangles par l’une de ses diagonales, la somme des rayons des cercles inscrits dans ces 2 triangles est la même qu’elle que soit la diagonale choisie.
C D
A
B M
1M
2P
K L
Pour faciliter les explications, nous prendrons comme illustration un octogone régulier.
Somme des rayons des cercles inscrits indépendante de la triangulation choisie
Utilisons le théorème japonais autant de fois que nécessaire à des quadrilatères composés de 2 triangles, on peut passer d’une triangulation quelconque à une triangulation en éventail unique à une rotation près.
Ce théorème permet d’affirmer qu’à chaque application du processus on ne change pas la somme des rayons des cercles.
On voit une illustration ci-dessous avec 2 applications du théorème.
Conclusion : La somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie
Calcul de la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles
Compte tenu du résultat précédent il suffit d’étudier la triangulation en éventail.
Nous nous plaçons dans le plan complexe.
Nous mettons le centre du polygone régulier à l’origine des axes et le point focal de l’éventail en (1,0) Les sommets du polygone sont les racines nièmes de l’unité.
Elles sont de la forme
e
i2kπ/navec k variant 0 à n-1 ou k variant de 1 à n-1 en excluant le point focal (1,0).L’éventail est composé de n-2 triangles.
Nous savons que les côtés du polygone sont tous identiques puisqu’il est régulier. Soit
a
cette valeur.L’angle au centre correspondant à chaque côté est égal à 2π/n ; il en résulte que l’angle de chaque triangle de l’éventail en son point focal vaut
π/n
.Nous poserons pour simplifier les calculs ultérieurs
ω = π/2n
Nous allons calculer le rayon du cercle inscrit du niéme triangle.
Dans le plan complexe, une corde Ck de l’éventail a pour longueur module de 1 -
e
i2kπ/n.Dans la notation choisie ceci s’écrit : module(1 -
e
i2kπ/n), donc Ck = 2sin(kπ/n) = 2sin(2kω) (k=1 à n-1) Le côté du polygone vaut a = 2sin2ω.La formule classique de surface du kième triangle est donc : S = 1/2 Ck..Ck+1.sin2ω
S = 2. sin2ω.sin2kω.sin(2kω+2ω)
Et toujours avec la formule classique du calcul du rayon du cercle inscrit : rk = 2.S / (a+ Ck+Ck+1)
rk = [2 sin2ω.sin2kω.sin(2kω+2ω)] / [sin2ω + sin2kω + sin(2kω+2ω)]
qui se simplifie en :
r
k= 2 sinω [sin(2kω+ω) - sinω]
Calculons la somme des rayons
Rtot = ∑𝑛−2𝑖=1 2 sinω [sin(2kω + ω) − sinω]
Rtot = 2sinω . ∑𝑛−2𝑖=1[sin(2kω + ω) − sinω]
Rtot = { 2sinω . ∑𝑛−2𝑖=1 sin(2kω + ω) } - 2(n-2)sin²ω
Calculons la somme : ∑𝑛−2𝑖=1 sin(2kω + ω) = ∑𝑛−2𝑖=1 sin(kπ/n + π/2n)
Pour cela calculons d’abord : ∑𝑛𝑖=0
e
i2kω = ∑𝑛𝑖=0e
ikπ/n avec les formules classiques d’une suite géométrique.Cela permet de calculer (en séparant partie réelle et partie imaginaire) :
∑𝑛𝑖=0 sinkπ/n =∑𝑛𝑖=0 sin2kω = sin2ω/(1-cos(2ω))
∑𝑛𝑖=0 coskπ/n = 0
D’où avec les bornes souhaitées :
∑𝑛−2𝑖=1 sinkπ/n =∑𝑛𝑖=0 sin2kω = sin2ω.cos2ω/(1-cos(2ω))
∑𝑛−2𝑖=1 coskπ/n = cos2ω
Mais ce que l’on cherche est : . ∑𝑛−2𝑖=1 sin(2kω + ω)
Pour cela il faut calculer d’abord : ∑𝑛−2𝑖=1
e
i2kω+ω =e
iω ∑𝑛𝑖=0e
i2kω Cela permet de calculer en ne s’intéressant qu’à la partie imaginaire :∑𝑛−2𝑖=1 sin(2kω+ω) = cos2ω/sinω
On obtient ainsi l’expression de la somme des rayons :
Rtot = { 2sinω . ∑𝑛−2𝑖=1 sin(2kω + ω) } - 2(n-2)sin²ω = 2sinωcos2ω/sinω - 2(n-2)sin²ω Rtot = 2(1-nsin²ω)
Rtot = 𝟐(𝟏 − 𝒏𝒔𝒊𝒏²
𝝅𝟐𝒏
)
a
C
kC
k+12ω
Application numérique :
Nous allons faire un tableau avec quelques valeurs qui permettent de retrouver des valeurs facilement calculables :
Question subsidiaire :
Dans le cas d’un découpage en éventail, quel est le lieu des centres des cercles inscrits ?
Nous prenons pour faciliter la compréhension un repère dont le centre est le point focal, le cercle dans lequel est inscrit le polygone est pris au point de coordonnées (1,0). C’est en fait une rotation de
Dans ce repère les coordonnées polaires des centre des cercles inscrits est ρ = r/sinω = 2 [sin(2kω+ω) - sinω]
Ө = π/2 – (2kω+ω)
avec ω=π/2n et n-2 ≥ k ≥ 0 Ceci peut encore s’écrire : ρ = r/sinω = 2cos Ө – 2 sin(π/2n)
En coordonnées cartésiennes nous remarquons que la courbe définie par ρ = 2cos Ө est le cercle circonscrit au polygone.
Le lieu des centres est donc une courbe qui se déduit du cercle circonscrit en soustrayant la quantité constante 2sin(π/2n) à chaque radiale entre l’origine et un point du cercle.
Quand le nombre de côtés du polygone devient très grand, ce lieu tend vers le cercle circonscrit, ce qui était intuitif compte tenu de la forme effilée des triangles qui en résulte.
Longueur constante
Cette remarque rappelle le théorème suivant :
Soit un cercle et un triangle ABC inscrit dans ce cercle.
Soit M le milieu de l’arc BC. Quand le sommet A se déplace sur l’arc BC opposé à M, Le lieu du centre du cercle inscrit est l’arc BC du cercle de centre M et de rayon MC. (Donc OM constant).
Démonstration en calculant (OB,OC) = π/2+(AB,AC) et (MB,MC) = π-(AB,AC)
Nombre Nombre Somme
de côtés de triangles des rayons Remarque
3 1 0,5 triangle équilatéral
4 2 0,8284 Carré
2016 2014 1,9976 Polygone à 2016 côtés 10000 9998 1,9995 Polygone à 10 000 côtés
