Enoncé D1892 (Diophante) Un ratio très rationnel
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB =AC > BC=a.
On trace le pointD sur le côtéAC tel que CD=BC =apuis le pointE projection de C surBD.
Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r. En déduire le ratior/a.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je pose (BC, BA) = (CA, CB) = 4t.a= 2ABcos(4t).
CBD est isocèle,CE y est hauteur et bissectrice, d’où (EB, EC) =π/2 et (CE, C) = 2t; (DB, DC) = (BC, BD) =π−2t.
Dans le triangle rectangle BCE, r est la longueur des tangentes menées deE au cercle inscrit, d’où
r= (EB+EC−BC)/2 =a(sin(2t) + cos(2t)−1)/2 =asint(cost−sint).
Les angles du triangleABD sontπ−8ten A, 2t+π/2 enD, 6t−π/2 en B. Par la loi des sinus, le rayon du cercle circonscrit est
R= AB
2 sin(2t+π/2) = a
4 cos(4t) cos(2t). Le rayon du cercle inscrit est
r= 4Rsin(π/2−4t)(sin(3t−π/4) sin(t+π/4) = atan(t+π/4)sin(4t) + sin(2t−π/2)
2 cos(2t) =
(a/2) tan(t+π/4)(2 sin(2t)−1).
Posant tant=u, l’égalité des rayons donne r
a = u(1−u)
1 +u2 = (1 +u)(4u−1−u2) 2(1−u)(1 +u2) . D’où l’équation enu :
0 = 2u(1−u)2+(1+u)(1−4u+u2) = 1−u−7u2+3u3 = (1−3u)(1+2u−u2).
Comme il faut 0< u <tan(π/8) =√
2−1, les racines 1±√
2 du trinôme ne conviennent pas.
Doncu= 1/3 etr/a= 1/5.
