Le cas du triangle équilatéral : Notons tout d'abord que si ABC est équilatéral, le triangle PQR est l'image de Q’R’P’ dans la rotation de centre M et d'angle 60°. Dans ce cas le point M a toujours même puissance par rapport aux deux cercles et il est donc toujours sur l'axe radical. Mais il y a plus : les triangles PQR et P’Q’R’ ont la même aire, et ceci est toujours le cas, même si ABC est quelconque. [Il s'agit d'une propriété "affine" et on peut munir le plan d'une structure métrique qui rend ABC équilatéral.]
Notons par (p1, p2, 1), (q1, q2, 1) …, (r’1, r’2, 1) les coordonnées des points P, Q, …, R’ dans un repère où le plan ABC est le plan d'équation z = 1. On voit que les déterminants
p1 q1 r1 p’1 q’1 r’1
p2 q2 r2 p’2 q’2 r’2
1 1 1 1 1 1 sont égaux. [Volumes de tétraèdres de même surface de base…]
Solution générale : Soit (x, y) les coordonnées de M dans un repère orthonormé. Les coordonnées des points P, Q, ..., R’ [projections parallèles sur les côtés] sont des fonctions linéaires de (x, y). Chercher les équations [X2 + Y2 – 2aX – 2bY + c = 0 ; … ] de Γ et Γ’ revient à résoudre deux systèmes du type :
2ap1(x, y) + 2bp2(x, y) – c = p1(x, y) 2 + p2(x, y) 2 2aq1(x, y) + 2bq2(x, y) – c = q1(x, y) 2 + q2(x, y) 2 … …
Les solutions a, b, c sont obtenues [formules de Cramer] comme quotients de deux déterminants : le numérateur est de degré trois [pour a et b] ou quatre [pour c], le dénominateur est le déterminant commun aux deux systèmes. L'équation de chacun des deux cercles a donc des coefficients a, b, c qui sont des fractions rationnelles en (x, y) de même dénominateur ; l'axe radical a pour équation la différence entre les équations des deux cercles. Son équation (après simplification des dénominateurs) est une équation de droite dont les coefficients de X et Y sont des polynômes de degré trois et le coefficient constant est de degré quatre.
Ecrire que M appartient à l'axe radical revient donc à écrire une équation algébrique de degré quatre. C'est l'équation du lieu cherché. Mais ce lieu contient trois droites [les côtés de ABC !] et il se compose donc aussi d'une quatrième droite...
Il suffit, pour conclure, de remarquer que le centre de gravité G possède la propriété voulue (les triangles PQR et P’Q’R’ sont symétriques par rapport à M), ainsi que le point de Lemoine K, pour lequel Γ et Γ’ sont confondus (voir par exemple Lalesko 7.1)… Les côtés de ABC et la droite GK ne semblent pas difficiles à construire à la règle et au compas.
