Lycée Paul Rey Denis Augier
Exercices : Utilisation du produit scalaire.
Notation : On noteraP le plan et` O;ÝÑ
i;ÝÑ j˘
un repère orthonormé du pan. Dans l’ensemble de ce chapitre on se situera dans ce plan
I Ensemble de point.
A Équation de droite.
On appelle vecteur normal à une droited, tout vecteurÝÑn dont la direction est orthogonale à la direction de la droited.
Définition 1
Exercice 1.
SoitAp2; 3qun point etÝÑn ˆ 1´2
˙
un vecteur donné. On notedla droite passant parAet de vecteur normal Ý
Ñn. SoitMpx, yqun point ded.
1. Que peut-on dire du produit scalaireÝÝÑ AM¨ ÝÑn ? 2. PuisqueÝÝÑ
AM ˆx´2
y´3
˙
, déduire de la question précédente : x´2y`4“0 Cette equation est donc une équation cartésienne ded.
3. Déterminer un vecteur directeurÝÑu ded.
4. CalculerÝÑu ¨ ÝÑn.
Exercice 2.
Soit ∆ une droite d’équation cartésienne 3x´y´3“0.1. Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal de ∆.
2. Trouver l’équation de la perpendiculaire à ∆ passant parA.
B Équation de cercles.
Exercice 3.
SoitC un cercle de centreAp2; 3qet de rayon 5. SoitMpx, yqun point quelconque du cercleC. 1. Quelle la valeur deAM2?2. Sachant queÝÝÑ AM
ˆx´2 y´3
˙
, déduire de la question précédente :
x2`y2´4x´6y´12“0 Cette équation sera appelée l’équation cartésienne du cercleC.
Exercice 4.
On considère l’équation :x2´10x`y2`2y`20“0 1. Développezpx´5q2` py`1q22. En déduire quex2´10x`y2`2y`20“0ô px´5q2` py`1q2“81
3. En déduire la nature de l’ensemble des pointsMpx, yqdu plan qui vérifie l’équationx2´10x`y2`2y`20“0.
Exercice 5.
SoientAp´4;´1qetBp14;´1q, etMpx, yqun point du plan vérifiant :ÝÝÑ M A¨ÝÝÑM B“0.
1. A partir de la formule analytique du produit scalaire, déterminer l’équation vérifiée par les coordonnées du pointM. 2. Conclure en utilisant l’exercice précédent.
II Triangle et produit scalaire.
A Théorème de la médiane.
Exercice 6.
Soient A et B deux points du planP et I le milieu du segmentrABset M un point quelconque du plan.1S 2018-2019 1
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1. DéterminerÝÑ IA`ÝÑ
IB.
2. Montrer que :
M A2`M B2“M I2`IA2`IB2
Indication : On utilisera la relation de Chasles pour écrire ÝÝÑ
M A“ÝÝÑ M I`ÝÑ
IAet ÝÝÑ M B“ÝÝÑ
M I`ÝÑ IB 3. Montrer queIA2`IB2“1
2AB2 4. En déduire :
M A2`M B2“M I2`1 2AB2
B Relations métriques dans le triangle.
Exercice 7.
On considère un triangle ABC, on note H le projeté orthogonal de C surpABq.OnAC“8,AB“10 et pÝÝÑ AB;ÝÑ
ACq “ π 6.
1. En vous plaçant dans le triangle rectangle ACH déter- miner la longueur CH.
2. En déduire la surface du triangle ABC.
3. Cadre général (en supposant que l’on connait aucune longueur)
(a) Justifier queCH “ACˆsinA.p (b) En déduireS“1
2ABˆACsinAp
(c) Déduire de la relation précédente, deux autres ex- pressions de S avec les anglesBp et Cpdu triangle ABC.
III Formules d’addition et d’angles doubles.
A Formules d’addition.
Exercice 8.
On définitApcosa,cosbqetBpcosb,sinbq, alorsAetBsont sur le cercle trigonométrique et´ÝÑ OI,ÝÑ
OA
¯
“a,
´ÝÑ OI,ÝÝÑ
OB
¯
“bet enfin
´ÝÑ OA,ÝÝÑ
OB
¯
“b´a(relation de Chasles pour les angles orientés).
1. Déterminer la valeur deÝÑ OA¨ÝÝÑ
OBen utilisant la formule obtenue à partir des coordonnées des vecteurs.
2. Déterminer la valeur deÝÑ OA¨ÝÝÑ
OBen utilisant la formule avec le cosinus.
3. En déduire que cospa´bq “cosacosb`sinasinb.
4. En déduire une expression de cospa`bq 5. En utilisant la formule sinx “ cos
´π 2 ´x
¯
, trouvez une expression de sinpa´bqpuis de sinpa`bq.
6. En posant a“b déterminer une expression de cos 2a et de sin 2aà partir des formules précédentes.
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