Équations de droite
Résumé de cours et méthodes
Le plan est muni d’un repère.
1. Équations cartésiennes d’une droite
•Toute droite du plan admet une équation, dite cartésienne, de la formeax+by+c= 0 (aetbne pouvant pas être nuls en même temps).
•Un vecteur directeur de la droite est alors→− u −b
a
! .
•Dire qu’un pointA xA
yA
!
appartient à la droite d’équationax+by+c= 0 signifie que ses coordonnées vérifient l’équation, c’est à dire queaxA+byA+c= 0.
•Dire que la droiteD d’équation cartésienneax+by+c= 0 est parallèle à la droiteD0 d’équation cartésienne a0x+b0y+c0 = 0 équivaut à dire det
→− u ,−→
u0
= 0 avec→− u −b
a
!
,vecteur directeur deD, et→− u0 −b0
a0
!
,vecteur directeur deD0.
1) Comment déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant deux de ses points ?
Méthode générale : équation cartésienne de la droite passant par deux points distinctsAetB.
•On exprime que dire qu’un pointM x y
!
appartient à la droite (AB) équivaut à dire que det(−−−→ AM ,−−→
AB) = 0 .
Exemple : Déterminons une équation cartésienne de la droiteDpassant parA 3
−2
!
etB 5 1
! . M x
y
!
∈D⇔det −−−→
AM ,−−→ AB
= 0⇔
x−3 2 y+ 2 3
= 0⇔3(x−3)−2(y+ 2) = 0⇔3x−9−2y−4 = 0⇔3x−2y−13 = 0.
Une équation cartésienne deDest : 3x−2y−13 = 0.
2) Comment déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à une droite connue et passant par un point connu ?
Méthode générale possible : équation cartésienne de la droiteD0parallèle à la droiteDet passant parA xA
yA
! .
A D’
D
On exprime que dire qu’un point M x y
!
appartient à la droite D0 équivaut à dire que det(−−−→ AM ,→−
u) = 0 avec
−
→u −b a
!
,vecteur directeur deD.
Exemple :
Déterminons une équation cartésienne de la droiteD0parallèle à la droiteDd’équation 3x−5y−4 = 0 et passant par A 1
2
! .
Un vecteur directeur deDest→− u 5
3
! . M x
y
!
∈D0⇔det −−−→
AM ,→− u
= 0⇔
x−1 5 y−2 3
= 0⇔3(x−1)−5(y−2) = 0⇔3x−3−5y+ 10 = 0⇔3x−5y+ 7 = 0.
Une équation cartésienne deDest : 3x−5y+ 7 = 0.
Seconde - Équations de droite 1 ©P.Brachet -www.xm1math.net
2. Équation réduite d’une droite
Pour les droites non parallèles à l’axe des ordonnées :
•Elles admettent une équation réduite de la formey=mx+p.
mest lecoefficient directeuretpest l’ordonnée à l’origine.
•Dire qu’un point A xA yA
!
appartient à la droite d’équationy =mx+psignifie que ses coordonnées vérifient l’équation, c’est à dire queyA=mxA+p.
•Étant donné les droitesDd’équationy=mx+petD0d’équationy=m0x+p0: Dest parallèle àD0si et seulement sim=m0.
Pour les droites parallèles à l’axe des ordonnées : Elles admettent une équation de la formex=c.
1) Comment déterminer l’équation réduite d’une droite connaissant deux de ses points ?
Méthode générale : équation réduite de la droiteDpassant parA xA yA
!
etB xB yB
! .
•siAetBont la même abscisse alorsDest parallèle à l’axe des ordonnées et admetx=xAcomme équation.
•Dans le cas contraire, on calcule d’abord le coefficient directeurmavec la formule suivante : m=yB−yA
xB−xA =diff´erence des ordonn´ees diff´erence des abscisses .
Pour déterminerp, on exprime que les coordonnées deAdoivent vérifier l’équation, c’est à dire queyA=mxA+p.
Exemple : Déterminons l’équation réduite de la droiteDpassant parA 2
−2
!
etB 4
−1
! . On am=−1−(−2)
4−2 =1
2. De plus,yA=mxA+p⇔ −2 = 1
2×2 +p⇔p=−3. L’équation réduite deDesty=1 2x−3.
2) Comment déterminer l’équation réduite de la droite parallèle à une droite connue et pas- sant par un point connu ?
Méthode générale : équation réduite de la droiteD0parallèle à la droiteDet passant parA xA yA
! .
A D’
D
•SiDn’est pas parallèle à l’axe des ordonnées :
D admet une équation réduite de la formey =mx+petD0 une équation réduite de la formey =m0x+p0 avec m0 =m. Pour déterminerp0, on exprime que les coordonnées deAdoivent vérifier l’équation deD0, c’est à dire queyA=m0xA+p0.
•SiDest parallèle à l’axe des ordonnées :
D0est aussi parallèle à l’axe des ordonnées et comme elle passe parA, son équation estx=xA.
Exemple 1 : Déterminons l’équation réduite de la droiteD0 parallèle à la droiteD d’équationy= 3x−4 et passant parA 1
2
! .
On am0=m= 3 etyA=m0xA+p0⇔2 = 3×1 +p0⇔p0=−1.
L’équation réduite deD0est doncy= 3x−1.
Exemple 2 : On considère les pointsB 0 2
!
etC 3 8
! .
Déterminons l’équation réduite de la droiteD0parallèle à la droite (BC) et passant parA 1
−1
! .
Seconde - Équations de droite 2 ©P.Brachet -www.xm1math.net
Le coefficient directeur deD0 est le même que celui de (BC). Donc,m0=yC−yB
xC−xB =8−2 3−0= 2.
Et,yA=m0xA+p0⇔ −1 = 2×1 +p0⇔p0=−3.
L’équation réduite deD0est doncy= 2x−3.
3) Exemple de recherche de l’équation réduite d’une médiane
Dans un repère, on considère les pointsA −3 1
! ,B 1
3
!
etC −1
−5
! .
•Déterminons l’équation réduite de la médiane issue deAdans le triangleABC.
Elle passe parAet parI, le milieu de [BC].
Or,xI=xB+xC
2 = 0 etyI =yB+yC
2 =−1. Donc,I 0
−1
! . Le coefficient directeur de la médiane estm=yI−yA
xI−xA
= −1−1 0−(−3)=−2
3. Et,yA=mxA+p⇔1 =−2
3×(−3) +p⇔p=−1.
L’équation réduite de la médiane est doncy=−2 3x−1.
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