PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Algèbre no 33 Page 1
33. (CCP) Image du planP d’équationx−2y+z= 1par le demi-tour d’axe D x−2z= 1 x−y= 3 . Notons déjà qu’il s’agit de géométrieaffine, donca priori hors programme. . .
Cela dit, on voit bien qu’il y a deux cas de figure bien différents ; notons δ le demi-tour d’axe D:
•siP est parallèle àD,δ(P) sera parallèle àP et il suffira donc de déterminer l’un de ses points ;
•si P etD sont sécants,δ(P) etP seront sécants, leur intersection étant la droite orthogonale à D incluse dans P ; il suffira alors de déterminer cette droite et un point deδ(P) ne lui appartenant pas.
Je remarque que
D= (1 + 2z,−2 + 2z, z), z ∈R =A+ Vecta où A= (1,−2,0) et a= (2,2,1)
tandis que la direction vectorielle de P a pour équation cartésienne x−2y+z = 0. Les coordonnées de a ne vérifient pas cette équation, donc P et D sont sécants. Avec la représentation paramétrique ci-dessus, je détermine la valeur dez correspondant au point I d’intersection :
(1 + 2z)−2 (−2 + 2z) +z= 1⇔z= 4 doncI = (9,6,4). Étant surD,I est invariant par δ.
Je détermine alors l’expression analytique deδ, sachant que
∀M ∈R3
−−−−→
Iδ(M) =s −−→
IM c’est-à-dire δ(M) =I+s(M−I) où sest le demi-tour vectoriel d’axeVecta.
La matrice S (dans la base canonique) de s s’obtient classiquement et immédiatement, puisques est la symétrie orthogonale par rapport à Vecta : je commence par écrire la matrice P de la projection orthogonale surVecta, sans oublier de normaliser a:
P = 1 9
4 4 2 4 4 2 2 2 1
d’où S= 2P−I = 1 9
−1 8 4 8 −1 4
4 4 −7
.
Je vérifie avec satisfaction que S est bien une matrice orthogonale, symétrique et de trace −1. . . À partir de là, deux idées :
•je sais que I est invariant par δ et que l’image par sden= (1,−2,1), vecteur normal à P, est un vecteur normal àδ(P), par conservation de l’orthogonalité pour les directions vectorielles. Comme s(n) = 1
9(−13,14,−11), j’en déduis queδ(P) admet pour équation cartésienne :
−13 (x−9) + 14 (x−6)−11 (z−4) = 0.
•je peux aussi (au prix d’un peu plus de calcul, mais obtenant au passage les coordonnées de l’image de n’importe quel point parδ. . . ) déterminer l’expression analytique deδ. Deδ(M) =I+s(M−I), je déduis les coordonnées (x′, y′, z′) deδ(M), si M = (x, y, z):
x′ = 9 +1
9 −(x−9) + 8 (y−6) + 4 (z−4) y′= 6 + 1
9 8 (x−9)−(y−6) + 4 (z−4) z′ = 4 +1
9 4 (x−9) + 4 (y−6)−7 (z−4)
soit
x′ = 1
9(26−x+ 8y+ 4z) y′= 1
9(−28 + 8x−y+ 4z) z′ = 1
9(4 + 4x+ 4y−7z) .
Noter que les constantes qui sont apparues sont les coordonnées de l’image du pointO parδ.
Enfin,δ étant une involution, M ∈δ(P) si et seulement siδ(M)∈ P, j’obtiens donc une équation cartésienne de δ(P) en injectant les coordonnées de M′ dans l’équation de P (et en multipliant tout par 9. . . ) :
δ(P) / (26−x+ 8y+ 4z)−2 (−28 + 8x−y+ 4z) + (4 + 4x+ 4y−7z) = 9 Dans les deux cas j’obtiens en conclusion
δ(P) / 13x−14y+ 11z= 77.
