Première S2 Exercices sur le chapitre 12 : E3. 2007 2008
E3 Barycentre en géométrie analytique.
P 194 n ° 64. Soient A ( 1 ; 2 ) ; B ( 3 ; 1 ) ; C ( - 1 ; 0 ) trois points du plan.
a. 1 + 2 + 3 ≠ 0 donc P barycentre du système ( A ; 1 ) , ( B ; 2 ) , ( C ; 3 ) existe et est unique.
Rappel du cours : la propriété fondamentale s'écrit pour tout point M du plan : a ÄMA + b ÄMB + c ÄMC = ( a + b + c ) ÄMG
En particulier pour le point M = O le centre du repère choisi.
On a donc aÄOA + b ÄOB + c ÄOC = ( a + b + c ) ÄOG.
Or deux vecteurs égaux ont des coordonnées égales.
Donc
a xA + b xB + c xC = ( a + b + c ) xG a yA + b yB + c yC = ( a + b + c ) yG Donc xP =
3 2 1
) 1 ( 3 3 2 1 1
+ ++ ×−
× +
× =
6 3 6 1+ − = 4
6 = 2 3 Et yP =
3 2 1
0 3 1 2 2
1× ++×++ × = 6 2+2 = 2
3 . D'où P ( 2
3 ; 2 3 ).
b. ÄIA = 2 ÄBI
Je cherche xI et yI tels que:
1 − xI = 2 ( xI − 3 ) ⇔ 1 − xI = 2 xI − 6 ⇔ 1 + 6 = 3xI ⇔ xI = 7 3 . 2 − yI = 2 ( yI − 1 ) ⇔ 2 − yI = 2 yI − 2 ⇔ 2 + 2 = 3 yI ⇔ yI = 4
3 . donc I ( 7
3 ; 4 3 ).
Deuxième méthode : I est barycentre du système ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ).
Donc les coordonnées de I sont données par les formules etc…
c. ÄCP
− + 3 0 2 3 1
2 ÄCP
3 23
5 ÄCI
− + 3 0 4 3 1
7 ÄCI
3 43 10
5 3× 4
3 − 10 3 × 2
3 = 20 9 − 20
9 = 0.
Donc les vecteurs ÄCP et ÄCI sont colinéaires.
Et donc les points C, P et I sont alignés.
P 194 n ° 65.
a. L'abscisse de A est différente de l'abscisse de B. Je cherche le coefficient directeur de la droite ( AB ) noté m. Alors m =
B A A B
x x
y y
−
− = 3 2
5 1−−
− = 1
−6
− = 6.
Pour trouver l'ordonnée à l'origine p, je remplace x et y dans l'égalité y = 6x + p par les coordonnées de B
On obtient donc -1 = 6 × 2 + p ⇔ -1 − 12 = p = -13.
Donc une équation de la droite ( AB ) est y = 6x − 13.
b. C ( 1 ; - 6 ). Et y = 6 × 1 − 13 = -7.
Donc les coordonnées de C ne vérifient pas l'équation de la droite ( AB ).
Donc A, B, et C ne sont pas alignés.
Ainsi C ne peut pas être barycentre des points A et B.
c. D ( 0 ; - 13 ) donc D ∈ ( AB ).
Je cherche a et b tel que xD = b a
2 b 3
a× ++ × = 0 et yD =
b a
) 1 ( b 5 a
+×− +
× = - 13.
⇔ 3a + 2b = 0 et 5a − b = -13 ( a + b ) ⇔ 3a + 2b = 0 et 5a − b + 13a + 13b = 0
⇔ 3a + 2b = 0 et 18a + 12b = 0 ⇔ 3a + 2b = 0 et 3a + 2b = 0.
Il y a une infinité de solutions. Je choisis a = 2 et b = - 3.
Ainsi D est par exemple barycentre de ( A ; 2 ) ; ( B ; - 3 ).
