Donc il existe un unique point G barycentre de ( A

Première S2 Exercices sur le chapitre 11 : E2. 2007 2008

E2 Savoir utiliser la propriété fondamentale du barycentre.

1. Soient A, B et C trois points.

Démontrons qu'il existe un unique point M tel que : ÄMA − 3ÄMB = ÄAC . 1 − 3 ≠ 0. Donc il existe un unique point G barycentre de ( A ; 1 ) ; ( B ; - 3 ).

Ainsi ÄMA − 3ÄMB = ÄAC ⇔ ( 1 − 3 ) ÄMG = ÄAC ⇔ - 2 ÄMG = ÄAC ⇔ 2 ÄGM = ÄAC ⇔ ÄGM = 1 2 ÄAC . Ce qui prouve l'existence et l'unicité du point M.

Pour le dessin, il faut d'abord placer le point G à l'aide de la relation ÄAG = 3 1

−3

− _{ÄAB =} ³ 2 ÄAB .

2. ABC est un triangle. On pose Åv = 3ÄMA − 2ÄBM et Åw = 3ÄMA − ÄCM .

Exprimons Åv puis Åw en utilisant au maximum une fois la lettre M, avec un seul vecteur.

Åv = 3ÄMA − 2ÄBM = 3 ÄMA + 2 ÄMB

3 + 2 ≠ 0 Donc il existe un unique point G barycentre de ( A ; 3 ) ; ( B ; 2 ).

Donc Åv = ( 3 + 2 ) ÄMG = 5 ÄMG.

Åw = 3ÄMA − ÄCM = 3 ÄMA + ÄMC

3 + 1 ≠ 0. Donc il existe un unique point H barycentre de ( A ; 3 ) ; ( C ; 1 ).

Donc Åw = ( 3 + 1 ) ÄMH = 4 ÄMH.

3. ABCD est un parallélogramme.

Démontrons que le vecteur Åu = ÄMA + 3ÄMB − 2ÄMC − 2ÄMD est un vecteur indépendant de M.

Construisons ce vecteur.

Åu = ÄMA + 3ÄMB − 2ÄMC − 2ÄMD

Åu = ÄMA + 3 ÄMA + 3 ÄAB − 2 ÄMA − 2 ÄAC − 2 ÄMA − 2 ÄAD Åu = 3 ÄAB − 2 ÄAC − 2 ÄAD = 3 ÄAB + 2 ÄCA + 2 ÄDA .

Ceci prouve que le vecteur Åu est un vecteur indépendant du point M choisi.