Fiche méthode : Utilisation du barycentre dans les problèmes d’alignement et de concours.
Propriétés utiles :
1. On ne change pas le barycentre en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul.
ex : si G est le barycentre de (A,-1) (B,2) (C,3) alors G est le barycentre de (A,2) (B,-4) (C,-6)
2. « associativité » du barycentre ou « barycentre partiel »
ex : si G est le barycentre de (A,2) (B,3) (C,4) et D est le barycentre de (A,2) (B,3) alors G est le barycentre de (D,5) (C,4).
3. On ne change pas le barycentre de points pondérés en introduisant un point de coefficient nul.
ex : si G est le barycentre de (A,-2) (B,5) alors G est le barycentre de (A,-2) (B,5) (C,0)
4. Tout point pondéré (A, a) peut être remplacé par (A, x) (A, y) à condition que x + y = a.
ex : si G est le barycentre de (A, 3) (B, 2) alors G est le barycentre de (A, 1) (A , 2) (B, 2) - Problème d’alignement de trois points :
Propriété de base : 2 points pondérés et leur barycentre sont alignés.
Méthode : montrer que l’un des trois points est un barycentre des deux autres.
- Problème de concours de 3 droites (ou plus…) (AI), (BJ), (CK) :
Méthode : montrer qu’il existe un point G
qui est sur (AI) donc qui est un barycentre de A et I qui est sur (BJ) donc qui est un barycentre de B et J qui est sur (CK) donc qui est un barycentre de C et K on se retrouve alors avec un problème d’alignement…..
remarque : le point de concours est souvent donné dans l’énoncé.
Sinon il faut utiliser le fait que c’est un barycentre des points donnés comme hypothèse de départ (ABC est un triangle …. , ABCD est un quadrilatère …. , etc..) et découvrir les coefficients.
