Première S Interrogation n ° 4 : barycentres. 2007 2008
1. Soient A et B deux points.
Soient a et b deux nombres réels tels que a + b ≠ 0.
Alors il existe un unique point G tel que a ÄGA + b ÄGB = Å0.
Ce point s'appelle le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs a et b.
2. La propriété fondamentale du barycentre :
Soit G le barycentre de ( A ; a ) ; ( B ; b ) avec a + b ≠ 0.
Alors pour tout point M du plan, on a a ÄMA + b ÄMB = ( a + b ) ÄMG 3. Le théorème d'associativité du barycentre :
Soient A, B et C trois points.
Soient a, b et c trois réels tels que a + b + c ≠ 0.
Si a + b ≠ 0, alors il existe un unique point H barycentre de ( A ; a ) ; ( B ; b ).
Ainsi le barycentre G de ( A ; a ) ; ( B ; b ) ; ( C ; c ) est le barycentre de ( H ; a + b ) ; ( C ; c ).
4. Application :
Soit ABC un triangle.
Soit J le milieu du segment [ BC ].
Déterminons puis construisons l'ensemble des points M du plan qui vérifie ÄMA + 2 ÄMB + ÄMC = ÄAJ . 1 + 2 + 1 ≠ 0 donc il existe un unique point G barycentre de ( A ; 1 ) ; ( B ; 2 ) ; ( C ; 1 ).
La propriété fondamentale permet d'écrire que pour tout point M du plan ÄMA + 2 ÄMB + ÄMC = 4 ÄMG.
Donc l'ensemble des points M du plan tels que ÄMA + 2 ÄMB + ÄMC = ÄAJ est l'ensemble des points M du plan tels que 4 ÄMG = ÄAJ ⇔ ÄGM = 1
4 ÄJA Or il existe un unique point D qui vérifie ÄGD = 1 4 ÄJA . Donc l'ensemble des points M du plan qui vérifie ÄMA + 2 ÄMB + ÄMC = ÄAJ est constitué du point D tel que ÄGD = 1
4 ÄJA . construction :
Etape 1 le triangle ABC puis le milieu J de [ BC ].
Etape 2 le milieu I du segment [ AC ] cad I est barycentre de ( A ; 1 ) ; ( C ; 1 ).
Etape 3 le point G milieu du segment [ BI ]
d'après l'associativité du barycentre G est barycentre de ( I ; 2 ) ( B ; 2 ).
Etape 4 le point D qui vérifie ÄGD = 1 4 ÄJA .
