Soient un triangle acutangle ABC et un point P en son intérieur. On recherche les triangles ABC dont les six distances BC, CA, AB, PA, PB et PC sont des nombres entiers distincts (propriété (P)).
Q₁ - P est l'orthocentre du triangle.
1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (P) et dont l'aire est la plus petite possible.
2 - Démontrer qu'il existe une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (P) et dont l'aire est aussi un nombre entier. Donner l'exemple d'un triangle ABC dont l'un des côtes est égal à 2016.
Q₂ - P est le point de Fermat sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°.
1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (P) et dont l'aire est la plus petite possible.
2 - Existe-t-il une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (P) ?
Q1 : Soit H l’orthocentre du triangle ABC, a, b, c les longueurs des cotés BC, CA, AB, d le diamètre du cercle circonscrit, S l’aire du triangle ABC et D le point diamétralement opposé à C sur ce cercle.
Les triangles ADC et BDC étant rectangles, AH est parallèle à BD et BH à AD : ADBH est un parallélogramme, donc AH=BD et BH=AD : on retrouve la propriété classique : AH2+a2=BH2+b2=CH2+c2=d2
Par ailleurs, le quadrilatère ADBC est inscrit, donc AB.CD=AC.BD+AD.BC, soit cd=bAH+aBH. Enfin S=abc/2d
Si ABC possède la propriété P, d2 doit pouvoir se décomposer en trois sommes de carrés distincts. Le plus petit carré admissible est 652=4225 (il y a, en fait, quatre décompositions en somme de deux carrés) qui donne deux solutions :
a AH b BH c CH S
63 16 60 25 39 52 1134
60 25 56 33 52 39 1344
Puisque l’on demande l’aire minimale, il faut choisir la première. Tout triangle déduit des précédents par une homothétie de rapport entier possède également la propriété P et son aire est entière. En particulier, si l’on applique au premier un coefficient 32, on obtient a=2016, b=1920, c=1248, S=1161216.
Q2 : Soit F le point de Fermat, et posons FA=u, FB=v, FC=w : nous avons alors les relations a2=v2+w2+vw, b2=w2+u2+wu, c2=u2+v2+uv , qui peuvent s’écrire
4a2=(2v+w)2+3w2, etc... dont une solution primaire est donnée par a=(3p2+q2)/4 v=(3p2-2pq-q2)/4, w=pq où p>q sont tous deux impairs ; puisque la propriété est conservée par homothétie de rapport entier, intéresserons nous au rapport r=v/w.
Pour p=5, q=3, r=3/5, tandis que pour p=13, q=5, r=88/65 ; enfin pour p=25, q=13, r=264/325. Or (3/5)(88/65)=264/325. En prenant les plus petits multiples, on obtient u=195, v=264, w=325 d’où a=511, b=455, c=399 ; soit une aire, non entière, un peu inférieure à 22588.
Tout triangle homothétique, avec un rapport entier, possède également la propriété P.
