• Il existe un unique point fixe r de la fonction g(x) dans l’intervalle [a,b]. •

(1)

Un résultat existe dans des conditions particulières, c’est le théorème de point fixe:

Théorème Soit une fonction continue g(x) de[a,b] dans [a,b] et telle que pour tout x ∈]a,b[

alors :

• Il existe un unique point fixe r de la fonction g(x) dans l’intervalle [a,b].

• L’algorithme des points fixes x

_n+1

=g(x

_n

) converge vers r et ce, quelle que soit la valeur de x

₀

dans [a,b].

C’est le mieux que nous avons concernant le bassin d’attraction, les conditions d’application sont cependant assez restrictives.

Dans la réalité on choisira un point de départ en se basant sur

• Le respect de la réalité décrite et des dimensions des variables (km, °C, $, etc.)

• Un estimé du point fixe visé ou du bassin d’attraction.

Il devient essentiel d’avoir de bon critère de convergence/divergence dans la mesure où on

ne connait ni la nature du point fixe, ni son bassin d’attraction, ni le comportement de la

méthode.

(2)

x

₀

x

₁

x

₂

x

₅

g(x

₀

)

x

₃

x

₄

g(x)

Point répulsif g(x) y = x g(x

₁

)

g(x

₂

) g(x

₃

) g(x

₄

)

x

₀

> r x

₀

< r

Point attractif

g(x) x

₀

> r y = x

p. 62-63

(3)

Méthode des points fixes

Fonction : -exp(x) Arguments initiaux :

Nombre maximal d'iterations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-06 Estimation initiale : x_0 = 0.000000E+00

Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -1.0000000000E+00 -3.6787944117E-01 1.0000000000E+00 --- ---

2 -3.6787944117E-01 -6.9220062756E-01 6.3212055883E-01 6.3212055883E-01 6.3212055883E-01 3 -6.9220062756E-01 -5.0047350056E-01 3.2432118638E-01 5.1306856240E-01 8.1166251475E-01 4 -5.0047350056E-01 -6.0624353509E-01 1.9172712699E-01 5.9116436126E-01 1.8227744165E+00 5 -6.0624353509E-01 -5.4539578598E-01 1.0577003452E-01 5.5166963685E-01 2.8773687141E+00 …

24 -5.6714248340E-01 -5.6714374810E-01 2.2299452629E-06 5.6714359835E-01 1.4424204329E+05 25 -5.6714374810E-01 -5.6714303083E-01 1.2646981044E-06 5.6714311575E-01 2.5433050990E+05 26 -5.6714303083E-01 -5.6714343763E-01 7.1726516959E-07 5.6714338950E-01 4.4844171707E+05 27 -5.6714343763E-01 -5.6714320692E-01 4.0679208813E-07 5.6714323429E-01 7.9070232089E+05

Approximation finale du point fixe: r = -5.6714343763E-01 ---

-1 < r = g(r) = g

⁽¹⁾

(r) < 0 27 évaluations de g(x) Convergence linéaire

Taux de convergence 0.567

(4)

Au minimum, on construit g garantissant la convergence ( )!

Comment aller le plus vite possible? Tout dépend de , deux points de vue

• Tenter d’améliorer l’ordre de convergence pour g donné

• Concevoir une fonction g avec un ordre de convergence élevée.

Accélération de la convergence d’une suite réelle.

Soit une suite x

_n

convergeant vers r avec

Alors la suite

converge plus vite que x

_n

vers r.

Extrapolation de

Aitken

(5)

Si la méthode de point fixe converge pour g partant x

₀

alors on peut lui appliquer l’extrapolation de Aitken.

On crée une suite d’extrapolation à partir de la suite provenant de la méthode du point fixe, on obtient la méthode de Aitken qui accélère la convergence.

Mais il y a mieux!. On intègre l’extrapolation dans la méthode de point fixe: c’est la méthode de Steffenson:

Remarques

• La méthode de Steffenson est d’ordre 2 si le point fixe est d’ordre 1.

• La méthode peut converger pour des points répulsifs de g!

• L’extrapolation s’applique dans d’autres situations. C’est une formule simple et facile d’emploi.

1. donné, n=0

2.

3. 4. retour à 2.

(6)

Méthode de Aitken

Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -6.1269983678E-01 -5.4188588891E-01 6.1269983678E-01 --- ---

2 -5.7170576753E-01 -5.6456160604E-01 4.0994069253E-02 6.6907263218E-02 1.0920071983E-01 3 -5.6761699485E-01 -5.6687469574E-01 4.0887726806E-03 9.9740590654E-02 2.4330492794E+00 4 -5.6719242789E-01 -5.6711542310E-01 4.2456695943E-04 1.0383726184E-01 2.5395704273E+01 5 -5.6714837923E-01 -5.6714040433E-01 4.4048660248E-05 1.0374961892E-01 2.4436573930E+02 6 -5.6714381707E-01 -5.6714299172E-01 4.5621522941E-06 1.0357073900E-01 2.3512801166E+03 7 -5.6714334490E-01 -5.6714325950E-01 4.7217029486E-07 1.0349726717E-01 2.2686061425E+04

14 évaluations de g(x) Convergence linéaire

Taux de convergence 0.103

(7)

Méthode de Steffenson

Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -6.1269983678E-01 -5.4188588891E-01 6.1269983678E-01 --- ---

2 -5.6735085770E-01 -5.6702558223E-01 4.5348979077E-02 7.4015001074E-02 1.2080140491E-01 3 -5.6714329483E-01 -5.6714328790E-01 2.0756287217E-04 4.5770131190E-03 1.0092869150E-01 4 -5.6714329041E-01 -5.6714329041E-01 4.4209308436E-09 2.1299237177E-05 1.0261583372E-01

8 évaluations de g(x)

Convergence quadratique

(8)

Methode de Steffenson: Fonction : x*x x_0 = 5.000000E-01

Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 5.0000000000E-01 2.5000000000E-01 --- --- --- 1 -5.0000000000E-01 2.5000000000E-01 1.0000000000E+00 --- ---

2 1.0000000000E-01 1.0000000000E-02 6.0000000000E-01 6.0000000000E-01 6.0000000000E-01 3 -1.1235955056E-03 1.2624668602E-06 1.0112359551E-01 1.6853932584E-01 2.8089887640E-01 4 1.4169118433E-09 2.0076391716E-18 1.1235969225E-03 1.1111125123E-02 1.0987668177E-01 5 -2.0679515314E-25 4.2764235361E-50 1.4169118433E-09 1.2610499503E-06 1.1223330404E-03 6 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 2.0679515314E-25 1.4594779070E-16 1.0300414340E-07 Approximation finale du point fixe: r = 0.0000000000E+00

Methode de Steffenson: Fonction : x*x x_0 = 7.000000E-01

Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 7.0000000000E-01 4.9000000000E-01 --- --- --- 1 1.8052631579E+00 3.2589750693E+00 1.1052631579E+00 --- ---

2 1.4475794223E+00 2.0954861839E+00 3.5768373558E-01 3.2361861790E-01 2.9279779715E-01 3 1.1928055148E+00 1.4227849961E+00 2.5477390753E-01 7.1228820935E-01 1.9913911048E+00 4 1.0504554083E+00 1.1034565648E+00 1.4235010652E-01 5.5873110360E-01 2.1930468038E+00 5 1.0045236927E+00 1.0090678493E+00 4.5931715530E-02 3.2266723680E-01 2.2667158085E+00 6 1.0000404701E+00 1.0000809419E+00 4.4832226256E-03 9.7606252539E-02 2.1250295447E+00 7 1.0000000033E+00 1.0000000066E+00 4.0466837340E-05 9.0262832608E-03 2.0133470975E+00 8 1.0000000000E+00 1.0000000000E+00 3.2753286749E-09 8.0938587996E-05 2.0001214159E+00 Approximation finale du point fixe: r = 1.0000000000E+00

Conv.

cubique

(9)

Méthode magique?

• Il nous faut toujours une fonction g qui converge: condition sur la dérivée et condition sur le point de départ.

• Plus rapide, mais on a plus d’opérations élémentaires: c’est pourquoi on utilisera rarement l’accélération lorsqu’on a une convergence d’ordre > 1.

• Formule sensible aux instabilités numériques (soustractions dangereuses)

• En fait, partant de g on peut voir Steffenson comme une méthode de point fixe sur

Ce qui nous amène à la seconde approche: créer un g garantissant l’ordre 2 de la méthode du point fixe.

Avec une convergence d’ordre 2 assurée (h

⁽¹⁾

(r) = 0 et h

⁽²⁾

(r)  0).

C’est pourquoi des points répulsifs de g peuvent converger: ils sont attractifs pour la

fonction h!

(10)