Terminale STG Exercices sur le chapitre 12 : E5. page n ° 1 2007 2008
E5 Savoir déterminer un nombre de ventes maximal.
N ° 7 Partie A 1.
B ( 8 ; 3 ) et C ( 6 ; 8 ).
Les abscisses de B et de C sont différentes. Donc une équation de la droite ( BC ) est de la forme y = mx + p.
m = ( yC − yB ) / ( xC − xB ) = ( 8 − 3 ) / ( 6 − 8 ) = -5/2 = -2.5
Pour trouver p, je remplace x et y par les coordonnées de B dans l'expression y = -2.5x + p.
Ce qui donne : 3 = 8 × ( -2.5 ) + p ⇔ 3 = -20 + p ⇔ p = 23.
Une équation de la droite ( BC ) est y = -2.5x + 23.
En utilisant la même méthode, je trouve une équation de la droite ( CD ).
C ( 6 ; 8 ) et D ( 2 ; 15 ).
m = ( 15 − 8 ) / ( 2 − 6 ) = -7/4.
15 = -7/4 × 2 + p ⇔ 15 + 7/2 = p ⇔ p = 18.5.
Une équation de la droite ( CD ) est y = -7/4x + 18.5 = -1.75x + 18.5 2.
La partie hachurée est située au dessus de l'axe des abscisses donc y ≥ 0 La partie ∆ est située à droite de l'axe des ordonnées donc x ≥ 0.
La partie ∆ est située en dessous de la droite ( DE ) parallèle à l'axe des abscisses et d'équation y = 15 donc y ≤ 15.
La partie ∆ est située en dessous de la droite ( CD ) donc y ≤ -1.75x + 18.5 La partie ∆ est située en dessous de la droite ( CB ) donc y ≤ -2.5x +23
La partie ∆ est située à gauche de la droite ( AB ) qui est parallèle à l'axe des ordonnées et d'équation x = 8. Donc x ≤ 8.
Partie B
1. Tableau des données.
Nombre max de personnes heures €
Contrat A 8 35 550
Contrat B 15 20 220
370 5 060
x est le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y celui sous contrat B. x et y sont donc des entiers positifs.
Le chef peut embaucher au plus 8 personnes sous contrat A cad x ≤ 8 et 15 personnes sous contrat B cad y ≤ 15.
Il dispose de 370 heures de travail par semaine or une personne du contrat A travaille 35 heures par semaine donc x personnes travailleront 35x heures par semaine. Et une personne du contrat B travaille 20 heures par semaine donc y personnes 20y heures. D'où 35x + 20y ≤ 370.
Le budget est égal à 5 060 € et une personne du contrat A est payée 550 € donc x personnes 550x et une personne du contrat B est payée 220 € donc y personnes 220y d'où 550x + 220y ≤ 5 060.
Le système est donc x ∈ ; y ∈ ; x ≤ 8 ; y ≤ 15 ; 35x + 20y ≤ 370 ; 550x +220y ≤ 5 060.
2. x ∈ veut bien dire x entier et positif de même pour y.
x ≤ 8 et y ≤ 15 sont bien des inéquations de la partie A.2.
550x +220y ≤ 5 060 ⇔ 220y ≤ 5060 − 550x ⇔ y ≤ 23 − 2,5x c'est bien une inéquation trouvée.
35x + 20y ≤ 370 ⇔ 20y ≤ 370 − 35x ⇔ y ≤ 18,5 − 1,75 x c'est bien une inéquation trouvée.
3. a. Un commercial sous contrat A effectue 30 ventes par semaine donc x personnes en feront 30x.
Un commercial sous contrat B effectue 16 ventes par semaines donc y personnes en feront 16y.
Le nombre total de ventes effectuées par semaine sera donc 30x + 16y.
b. Les couples ( x ; y ) correspondant à la réalisation de N ventes vérifient la droite d'équation N = 30x + 16y.
Pour construire la droite ∆320 , j'écris l'équation : 320 = 30x +16y ⇔ 16y = 320 − 30x ⇔ y = 20 − 1.875x.
Elle passe par les points de coordonnées ( 8 ; 5 ) et ( 0 ; 20 ).
c. Pour réaliser un nombre de ventes maximal par semaine, je trace la parallèle à la droite ∆320 qui passe dans la zone hachurée et qui a une ordonnée à l'origine maximale. Ainsi cette dernière droite passe par le point C.
Donc, il faudra embaucher 6 commerciaux sous contrat A et 8 sous contrat B. N = 30 × 6 + 16 × 8 = 308.
Le nombre de ventes maximal par semaine sera égal à 308.
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