3 Comment déterminer une équation de la droite parallèle à une droite connue et passant par un point connu ?

Équations de droite : Résumé de cours et méthodes

Le plan est muni d’un repère.

1 Rappels sur les équations de droite

Pourlesdroitesnonparallèlesàl’axedesordonnées:

•Ellesadmettentuneéquationdelaformey= ax+ b. a estlecoefficientdirecteuret b estl’ordonnéeàl’origine.

•Dire qu’un pointA x_A

appartientàladroited’équationy= ax+ b signifiequesescoordonnéesvérifientl’équation,c’est y_A

àdirequey_A = ax_A + b.

•EtantdonnélesdroitesDd’équationy= ax+ b etD⁰d’équationy= a⁰x+ b⁰: DestparallèleàD⁰sietseulementsi a = a⁰.

Pourlesdroitesparallèlesàl’axedesordonnées: Ellesadmettentuneéquationdelaformex=c.

2 Comment déterminer une équation d’une droite connaissant deux de ses points ?

Méthode générale : équation de la droiteDpassant parA x_A y_A

!

etB x_B y_B

! .

•siAetBont la même abscisse alorsDest parallèle à l’axe des ordonnées et admetx=x_Acomme équation.

•Dans le cas contraire, on calcule d’abord le coefficient directeurmavec la formule suivante : m=yB−yA

x_B−x_A=diff´erence des ordonn´ees diff´erence des abscisses.

Pour déterminerp, on exprime que les coordonnées deAdoivent vérifier l’équation, c’est à dire quey_A=mx_A+p.

Exemple : Déterminons une équation de la droiteDpassant parA 2

−2

!

etB 4

−1

! . On am=−1−(−2)

4−2 =1

2. De plus,yA=mxA+p⇔ −2=1

2×2+p⇔p=−3. Une équation deDesty=1 2x−3.

3 Comment déterminer une équation de la droite parallèle à une droite connue et passant par un point connu ?

Méthode générale : équation de la droiteD⁰parallèle à la droiteDet passant parA x_A y_A

! .

A D’

D

•SiDn’est pas parallèle à l’axe des ordonnées :

Dadmet une équation de la formey=mx+petD⁰une équation de la formey=m⁰x+p⁰avecm⁰=m. Pour déterminerp⁰, on exprime que les coordonnées deAdoivent vérifier l’équation deD⁰, c’est à dire quey_A=m⁰x_A+p⁰.

•SiDest parallèle à l’axe des ordonnées :

D⁰est aussi parallèle à l’axe des ordonnées et comme elle passe parA, son équation estx=x_A.

Exemple 1 : Déterminons une équation de la droiteD⁰parallèle à la droiteDd’équationy=3x−4 et passant parA 1 2

! . On am⁰=m=3 ety_A=m⁰x_A+p⁰⇔2=3×1+p⁰⇔p⁰=−1.

Une équation deD⁰est doncy=3x−1.

Exemple 2 : On considère les pointsB 0 2

!

etC 3 8

! .

Déterminons une équation de la droiteD⁰parallèle à la droite(BC)et passant parA 1

−1

! . Le coefficient directeur deD⁰est le même que celui de(BC). Donc,m⁰=y_C−y_B

x_C−x_B=8−2 3−0 =2.

Et,y_A=m⁰x_A+p⁰⇔ −1=2×1+p⁰⇔p⁰=−3.

Une équation deD⁰est doncy=2x−3.

4 Exemple de recherche d’une équation d’une médiane

Dans un repère, on considère les pointsA −3 1

! ,B 1

3

!

etC −1

−5

! .

•Déterminons une équation de la médiane issue deAdans le triangleABC.

Elle passe parAet parI, le milieu de[BC].

Or,xI=x_B+x_C

2 =0 etyI=y_B+y_C

2 =−1. Donc,I 0

−1

! . Le coefficient directeur de la médiane estm=yI−y_A

x_I−x_A = −1−1 0−(−3)=−2

3. Et,y_A=mx_A+p⇔1=−2

3×(−3) +p⇔p=−1.

Une équation de la médiane est doncy=−2 3x−1.