Seconde 8 DS7 : Correction 21 mars 2017 Exercice 1 : Exercices classiques (10 minutes)
1. R´esoudre (x−2)(−2x+ 3)<0 2. SoientA(2; 3),B(4; 7) etC(5; 8).
a. Calculer le coefficient directeur de la droite (AB)
b. En d´eduire l’´equation r´eduite de la droitedparall`ele `a (AB) passant parC.
3. Quels sont les positions relatives de deux plans ?
Solution:
1. `A l’aide d’un tableau de signes, on aS=]− ∞;32[∪]2; +∞[ ; 2. a. Le coefficient directeur de (AB) est 7−3
4−2 = 2.
b. Le coefficient directeur de d est 2 et cette droite passe par C donc 8 = 2×5 +pet p=−2. L’´equation r´eduite dedest y= 2x−2.
3. Deux plans peuvent ˆetre parall`eles, confondus ou s´ecants en une droite.
Exercice 2 : Lecture graphique de droites (5 minutes) Pour chacune des droites ci-
contre,
1. Lire graphiquement le co- efficient directeur ou in- diquer s’il n’existe pas la raison.
2. En d´eduire l’´equation r´eduite (Si besoin, on pourra s’aider de calcul pour calculer l’ordonn´ee
`
a l’origine).
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
0
D1
D3 D2
Solution:
1. D1 est parall`ele `a l’axe des ordonn´ees, elle n’a donc pas de coefficient direc- teur.
D2: 2 etD3:−25 2. D1:x= 2
D2:y= 2x−1
D3 : y = −25x+ 15 (on doit prendre le point de coordonn´ees (−2; 1) pour calculer l’ordonn´ee `a l’origine).
Exercice 3 : Volume dans un solide (15 minutes) ABCDEF GH est un pav´e droit tel que :
AB= 4cm etAE =BC= 2cm.
A B
D C
E F
G H
1. D´eterminer le volume ce pav´e droit.
2.
a. Citer deux droites parall`eles, s´ecantes et non coplanaire.
b. Citer tous les sommets du pav´e inclu dans le plan (ABC).
3. CalculerAF etF C.
4. a. Calculer l’aire du triangleABF.
b. En d´eduire le volume du t´etra`edreABCF. 5. Calculer le volume du t´etra`edre AHF C.
Solution:
1. Le volume de ce pav´e droit est 4×2×2 = 16cm3.
2. a. (AB) et (CD) sont parall`eles. (AB) et (AD) sont s´ecantes et (AB) et (CG) sont non coplanaires.
b. A,B,C etD 3. Par Pythagore :AF =√
16 + 4 = 2√
5 etF C=√
4 + 4 = 2√ 2.
4. a. l’aire de ABF est 2×4×12 = 4cm2
b. BCest une hauteur donc le volume deABCF est 4×2×13 = 83cm3. 5. De la mˆeme fa¸con, on montre que les volumes deAF HE,HGCF etHCDA
sont 83cm3. Par diff´erence, le volume deHAF C est 16−4×83 =163cm3.
Exercice 4 : Section (10 minutes)
Dans cette exercice, on ne demande aucune justification On admet que les droites (IJ) et (CG) sont s´ecantes en un point L.
Construire en laissant apparents les traits de construction :
• le point L ;
• l’intersectionDdes plans (IJK) et (CDH) (en noir) ;
• la section du cube par le plan (IJK) (en vert).
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Solution:
B
A F
C
D
E H
G
I
J
K s
t
L
a
M
b c
N
d
O
P
e
Q
1. Pour L, on prolonge les droites (GC) et (J I).
2. L’intersection des plans (IJ K) et (CDH) est la droite (LK). On appelleM l’intersection de (LK) et (HD).
3. Pour finir la section,
• On prolonge (J K) et (AB) (qui sont coplanaires). On appelle N l’in- tersection. (N I) est l’intersection de (ABC) et (IJ K). On appelleO l’intersection de (EF) et (N I).
• On prolonge (M K) et (CH) (qui sont coplanaires). On appelleP l’in- tersection. (P O) est l’intersection de (F GH) et (IJ K). On appelleQ l’intersection de (P O) et (EH).
. La section est le polygoneIJ KM QO
Exercice 5 : Prise d’initiative (10 minutes)
Les droites ci-contre sont-elles concourantes ? Justifier ! Solution:
Dans un premier temps, on peut conjecturer que les droites sont concourantes en prolongeant celles-ci.
Pour le prouver, on doit d’abord d´eterminer les ´equations des droites. La premi`ere a comme ´equationy= 52x+ 4, la secondey=32xet la derni`erey=34x−3.
Ensuite il y a au moins 2 fa¸cons de r´epondre. La premi`ere est de r´esoudre le syst`eme y=5
2x+ 4 y= 3
2x
. Puis on montre que le point solution appartient `a la derni`ere droite.
Une autre fa¸con est de conjecturer un point solution puis de v´erifier qu’il ap- partient aux deux droites. On peut conjecturer que l’intersection est A(−4;−6).
On v´erifie 52× −4 + 4 =−10 + 4 = −6 donc A appartient `a la premi`ere droite.
3
2× −4 =−6 doncAappartient `a la seconde droite et 34× −4−3 =−3−3 =−6 doncAappartient `a la derni`ere droite.
Les droites sont donc concourantes enA(−4;−6).s
