L3 SPI
Durée de l’épreuve : 2 heures Barème indicatif : 5+3+6+6
Examen de Mathématiques, Décembre 2014
Calculatrice et document sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée. Avoir sur soi un téléphone portable allumé, position silencieuse comprise, est interdit.
Exercice 1 : Intégrales
Calculer les deux intégrales suivantes : I =
Z π 0
xsinxdx J =
Z 1 0
−1 + 3x (1 +x) (x2+ 1)dx
Exercice 2 : Droites et plans de l’espace
Soit le planP d’équationx+y+z = 0etΠle plan d’équationx+ 2y+ 3z = 0.
1. Déterminer un vecteur directeur−→u deP ∩Π.
2. Déterminer un vecteur−→v tel que(−→u ,−→v )soit une base deP.
3. Déterminer un vecteur−→w, de sorte queB= (−→u ,−→v ,−→w)soit une base deR3.
Exercice 3 : Déterminant et système
Soitaun réel etMa =
0 1 a
1 a+ 2 −4
−1 −1 4
1. Calculer le déterminant deMa:∆a=det(Ma).
2. SoitSle système :
S :
y+az = 1
x+ay+ 2y−4z = 1
−x−y+ 4z = 1 (a) Pour quelles valeurs dea,S a-t-il une unique solution ?
(b) Poura= 1, résoudre le systèmeS, on ne demande pas la résolution du cas général.
3. Pour quelle valeur dea, le vecteur
5 1 2
est-il un vecteur propre deMa?
Exercice 4 : Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes :
A=
1 −1 2 4
B =
1 −2 4
−1 5 −7
−1 4 −6
