L3 SPI
Durée de l’épreuve : 2 heures Barème indicatif : 5+4+6+5
Examen de Mathématiques, Décembre 2015
Calculatrice et document sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée. Avoir sur soi un téléphone portable allumé, position silencieuse comprise, est interdit.
Exercice 1 : Fonction et intégrales
Soitf la fonction définie sur l’intervalle]−4; 2[par la formule : f(x) = x
(x+ 4)(x−2)
1. Calculer la dérivée def, en déduire le tableau de variations def sur l’intervalle]−4; 2[.
2. Étudier le signe def. Représenter rapidement la courbe représentative def. 3. CalculerI =R1
0 f(x)dx
4. Calculer l’aire (positive) de la surfaceS comprise entre l’axe desxet la courbe représentative def pour des abscisses comprises entre -1 et 1.
Exercice 2 : Intégration
Calculer l’intégraleI = Z 2
1
x2+ 1
x(x+ 1)2 dxen déduire la valeur de l’intégraleJ = Z 4
1
t+ 1 t(√
t+ 1)2 dt.
Exercice 3 : Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes : A=
7 −6 2 0
B =
1 1 0
7 1 −3
−4 2 3
.
Exercice 4 : Application linéaire
Soitf l’application linéaire deR3 dansR3 définie par
f(x, y, z) = (3x−y−4z; 3x−2y−5z;x−z)
1. Déterminer le noyau def.
2. DéterminerM la matrice def dans la base canonique.
3. SoientP =
1 2 1 1 1 −1 0 1 1
, CalculerP−1.
4. On noteB = (−→u ,−→v ,−→w)la base telle queP est la matrice de passage de la base canonique à la base B.
Quel est le vecteur−→u.
5. DéterminerN la matrice def dans la baseB.
6. M est-elle inversible ?
7. Montrer queN n’est pas diagonalisable, en déduire queM n’est pas diagonalisable.
