L3 SPI
Durée de l’épreuve : 2 heures Barème indicatif :6+3+5+6
Contrôle 2 de Mathématiques, Janvier 2006
Le formulaire distribué en cours est autorisé, tout autre document ainsi que les calculatrices sont inter- dit.
Exercice 1 : équations différentielles
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. 2y0+y= 7.
2. xy0+ (1 +x)y= 0 3. y00+y0−6y=e−2x
Exercice 2 : Droites et plans de l’espace
Soit le planP d’équationx+y+z = 0etP0 le plan vectoriel de base(−→u;−→v )avec−→u = (1; 2; 1) et−→v = (1; 4; 1).
1. Déterminer un vecteur directeur de l’intersectionDdeP etP0. 2. Déterminer une équation du plan vectorielΠorthogonal àD.
Exercice 3 : déterminant et système
Soitαun réel etM =
1 −1 0
α 1 1
0 α+ 1 3
1. Calculer le déterminant deM :∆ =detM. 2. SoitS le système :
S:
x−y= 1 αx+y+z = 1 (α+ 1)y+ 3z = 1 (a) Pour quelles valeurs deα,Sa-t-il une unique solution ? (b) Pourα= 1, résoudre le systèmeS.
3. Pour quelle valeur deα, 0 est-il valeur propre deM?
Exercice 4 : Diagonalisation
Diagonaliser les matrices suivantes :
A=
1 −1 6 6
B =
−2 −3 9
−2 −1 6
−2 0 5
