LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2014–2015 Devoir surveillé no 9 – mathématiques
Correction
Exercice 1
1. On décompose puis on développe, en utilisant l’orthogonalité dans le cube :
−→AF ·−−→
BG= (−→
AB+−−→
BF)·(−−→ BC+−→
CG)
=−→
AB·−−→ BC+−→
AB·−→
CG+−−→ BF ·−−→
BC +−−→ BF ·−→
CG
= 0 +−→
AB·−−→
BF + 0 +−−→ BF ·−−→
BF
= 0 +BF2
= 1
2. Selon la représentation paramétrique, la droite est dirigée par le vecteur−→v(1,−2,3).
D’autre part, selon l’équation du plan, un vecteur directeur est −→n(1,2,1).
La droite est parallèle au plan si et seulement si −→v · −→n = 0.
Or −→v · −→n = 1−4 + 3 = 0, donc la droite est bien parallèle au plan.
3. On considère les pointsA(0; 4; 1), B(1; 3; 0),C(2;−1;−2)etD(7;−1; 4) ainsi que la droite∆ qui passe par le point Det de vecteur directeur −→u(2;−1; 3).
(a) Il suffit de montrer que −→u est orthogonal à la fois à −→
AB et à −→
AC par exemple.
Or −→
AB(1;−1;−1) et−→
AC(2;−5;−3).
Par suite, −→u ·−→
AB = 2 + 1−3 = 0 et −→u ·−→
AC = 4 + 5−9 = 0.
Donc ∆ est orthogonale au plan(ABC).
(b) Comme −→u est un vecteur normal au plan (ABC) d’après la question précédente, une équation cartésienne du plan est alors de la forme 2x− y+ 3z +d = 0. Or A(0; 4; 1) appartient au plan, donc −4 + 3 +d= 0, autrement dit d= 1.
Ainsi le plan (ABC)a pour équation 2x−y+ 3z+ 1 = 0.
4. On réécrit :
x+y+z = 0 x+ 4y+ 2 = 0 ⇔
(−4y−2) +y+z = 0 x=−4y−2 ⇔
z= 3y+ 2 x=−4y−2
On pose y=t. Alors une représentation paramétrique de (d) est
x=−4t−2 y=t
z = 3t+ 2
, t∈R. 5. On observe que le pointA(3,0,0)appartient aux trois plans (ses coordonnées satisfont les trois
équations). Donc Les plans ont bien un point commun.
Exercice 2 (6 points)
1. La calculatrice donneP(3896X 6411)'0,683
(valeur du cours car il s’agit d’une probabilité de la forme P(µ−σ 6X 6µ+σ).
2. On doit calculer P(X >385) = 1
2 +P(3856X 6400)'0,914.
3. On résout :
P(X >385) = 0,96⇔1−P(X 6385) = 0,96
⇔P(X 6385) = 0,04
⇔P
X−400
σ 6 −15 σ
= 0,04
Or X−400
σ ∼ N(0; 1). La calculatrice donne alors −15
σ ' −1,75.
Alors σ= 15
1,75 '8,57, qui est bien une valeur inférieure à celle de départ.
