L’amoureux indécis
Solution proposée par Pierre Renfer Soient f, g, h les homothéties, de rapport 1
2, de centres respectifs A, B, C.
Le point P3(n 1) est l’image du point P3n par l’homothétie h g f, de rapport 1
8, de centre U.
Comme le rapport 1
8 de cette homothétie est strictement inférieur à 1, la suite (P )3n converge vers U.
On va calculer les coordonnées barycentriques du centre U dans le repère affine (A, B, C).
Soient (les coordonnées barycentriques du point P : P
Les coordonnées de A, de même somme sont : A 0
0
En additionnant ces coordonnées de A et P, on obtient celles de leur milieu P1 : 1 2 P
Les coordonnées de B, de même somme sont :
0
B 2( )
0
En additionnant ces coordonnées de B et P1, on obtient celles de leur milieu P2 : 2 2
P 2 +3 2
Les coordonnées de C, de même somme sont :
0 C 0
4( )
En additionnant ces coordonnées de C et P2, on obtient celles de leur milieu P3 : 3 2
P 2 3 2 4 4 5
Le centre U est un point fixe de l’homothétie.
Ses coordonnées () vérifient donc :
2 8
2 3 2 8
4 4 5 8
En résolvant le système, on trouve les coordonnées de U :
1 U 2 4
Par permutation circulaire sur (A, B, C), on en déduit que les suites (P3n 1 ) et (P3n 2 ) convergent respectivement vers les points V et W.
Et les coordonnées de V et W sont :
4 V 1 2
2 W 4 1
L’amoureux indécis est condamné asymptotiquement à parcourir le triangle UVW.
Le point D est barycentre de (B, 1) et (C, 2).
Le point E est barycentre de (C, 1) et (A, 2).
Le point G est barycentre de (A, 1) et (B, 2).
Généralisation
L’amoureux indécis est condamné asymptotiquement à parcourir un polygone U U1 2 Un.
On peut conjecturer que U1 est barycentre de (A , 1)1 ,( A , 2)2 ,( A , 4)3 , (, A , 2 )n n 1 , les coefficients étant les puissances successives de 2, et que les coefficients des points suivants s’en déduisent par permutation circulaire.
Cette conjecture est facile à démontrer :
Il suffit de montrer que le milieu de U1 et de A1 est le point U2 La somme des coefficients de U1 est égale à 2n1.
Le point A1 est barycentre de (A , 2 -1)1 n ,( A , 0)2 ,( A , 0)3 , (, A , 0)n .
On obtient les coordonnées du milieu de U1 et de A1 comme demi somme de celles de U1 et A1. Ce milieu est donc barycentre de (A , 2 )1 n 1 ,( A , 1)2 ,( A , 2)3 , (, A , 2n n 2 )
Il s’agit bien de U2
