D1864. Barres parallèles
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Etant donné le triangle ABC, construire le triangle isocèle A0BC tel que CBA0 = A0CB = BAC*.
La droite [BA0] coupe la droite [AC] en A1 et la droite [CA0] coupe la droite [AB] en A2. Construire de même B0,B1 et B2 et enfin C0,C1 et C2.
Montrer que les droites [A1A2], [B1B2] et [C1C2] sont parallèles.
On suppose que le triangle ABC n'est pas isocèle.
Les triangles ABC et BA1C sont semblables donc A1C / BC = BC/AC, A1C = a²/b, A1A = b – a²/b A1 est barycentre de A(a²) et C(b² – a²)
Les triangles ABC et CBA2 sont semblables donc A2B / CB = CB/AB, A2B = a²/c, A2A = c – a²/c A2 est barycentre de A(a²) et B(c² – a²).
Coordonnées de A1 et A2 : (a², 0, b² – a²) et (a², c² – a², 0).
L'équation barycentrique de la droite [A1 A2] est donc X
a2+ Y
(a2−c2)+ Z
(a2−b2) = 0
Ce résultat a été établi en supposant que l'angle BAC soit aigu, mais reste valable dans les autres cas.
Les permutations circulaires X→Y→Z→X et a→b→c→a permettent d'en déduire les équations des droites [B1 B2] et [C1C2].
Reprenons les équations de A1 A2 et B1B2 : X
a2+ Y
(a2−c2)+ Z
(a2−b2) =0 et X
(b2−c2)+Y
b2+ Z
(b2−a2) = 0
La combinaison linéaire de ces deux équations obtenue avec les coefficients respectifs a²(a²-c²) et b²(b²-c²)
donne : X[(a²-c²) + b²] + Y [a² + (b²-c²)] + Z (a4−a2∗c2−b4+b2∗c2) (a2−b2) = 0 soit : X(a²+b² – c²) +Y(a²+b² – c²) + Z(a²+b² – c²) = 0
et en supposant encore que l'angle A ne soit pas 90°, a²+b² – c² ≠ 0, X +Y + Z = 0 , c'est l'équation de la droite de l'infini donc [A1 A2] et [B1B2] sont parallèles.
Calculs analogues pour montrer que [B1B2] et [C1C2] sont parallèles.
Les droites [A1A2], [B1B2] et [C1C2] sont parallèles.
