a < 0 a > 0

ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE Y'= A Y+ B 1° Théorème

Soit a un nombre réel.

• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y '= a Y sont définies sur par : f (x) = k e^{a x} où k est une constante réelle.

• Soit (x0; y0) un couple de nombre réels.

L'équation différentielle Y '= a Y admet une solution unique sur vérifiant les conditions initiales : y0 = f (x0).

Démonstration

La fonction x e^{a x} est solution de l'équation Y ' = a Y.

Si f est une autre solution de l'équation Y ' = a Y Soit g la fonction définie sur par g (x) =

On a : g '(x) = = 0 donc g est une fonction constante sur l'intervalle donc f est de la forme x k ´ e^{a x}

La condition y0 = f (x0) s'écrit y0 = k e^{a x0} soit k = .

Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y'= aY et vérifiant y0 = f (x0).

Exemple : Soit l'équation différentielle Y ' = – 2 Y.

Les solutions sont les fonctions x k e^{– 2 x} définies sur . Parmi ces solutions, une seule vérifie f (1) = 3 f (1) = 3 équivaut à 3 = k e^{– 2}, soit k = 3 e², donc f (x) = 3 e² e^{– 2 x} = 3e^{2 – 2 x}.

Remarque : Le réel a et le point A(x0 ; y0) sont donnés.

Parmi les courbes représentatives des solutions de Y ' = a Y, il existe une seule courbe passant par A.

2° Allure des courbes représentatives des solutions de Y = a Y

y

x

a > 0

y

x

a < 0

y

x

a = 0

3° Théorème

Soit a et b des nombres réels.

• Les fonctions solutions de l'équation différentielle Y'= a Y + b sont définies sur par : Si a = 0 : x b x + k où k est une constante réelle

Si a ¹0 : x k e^{a x} – où k est une constante réelle

• Soit (x0 ; y0) un couple de nombre réels.

L'équation différentielle Y ' = a Y + b admet une solution unique sur vérifiant y0 = f (x0).

Démonstration '

• Si a = 0 : l'équation différentielle s'écrit Y' = b. Donc les solutions sur sont les primitives sur de la fonction constante x b, c'est-à-dire les fonctions x b x + k où k est une constante réelle.

• Si a ¹ 0, on peut écrire Y ' = a On pose Z = Y + Û Y = Z –

on a Z ' = Y' = a Z donc Z est solution de l'équation différentielle Z ' = a Z dont les solutions sur sont les fonctions x k e^{a x}.

Z = Y + Û Y = Z – donc Y est de la forme : x k e^{a x} –

La condition initiale y0 = f (x0) s'écrit y0 = k e^{a x0} – . D'où k = e^{a x0}

Donc il existe un réel k unique et une unique fonction f solution de l'équation Y' = a Y + b qui vérifie y0 , = f (x0).

f définie sur par : f (x) = e^{a x – a x0} –