∀ ǫ> 0 , ∃ a ∈ R , | a | <ǫ ∃ a ∈ R , ∀ ǫ> 0 , | a | <ǫ IIQuantificateurs ILogique

P

: doc 5 Raisonnements, Démontrer, Résoudre, ... 2014-2015

Largement inspiré de « PRÉPAS SCIENCES - PCSI - Ellipses »

I Logique

Plusieurs définitions :

• Une proposition est un énoncé mathématique qui peut prendre deux valeurs : vrai (V ) ou f aux (F ) ;

• On appelle négation d’une proposition P et on note non P la proposition définie par :

⊲ non P vraie lorsque P est fausse ;

⊲ non P fausse lorsque P est vraie ;

• Soit P et Q deux propositions. On appelle réciproque de P ⇒ Q, l’implication Q ⇒ P ;

• Soit P et Q deux propositions. On appelle équivalence de P et Q la proposition P ⇒ Q et Q ⇒ P . Cette proposition se note P ⇔ Q.

• Principe de déduction : si P et P ⇒ Q sont vraies alors Q est vraie ;

• Soit P et Q deux propositions. On appelle contraposée de la proposition P ⇒ Q, l’implication non Q ⇒ non P . Équivalences à connaître pour raisonner en mathématiques :

Soit P et Q deux propositions. Alors :

• L’implication P ⇒ Q et sa contraposée non Q ⇒ non P sont équivalentes ; (IMPORTANT)

• non(P et Q) ⇔ (non P ) ou (non Q) ;

• non(P ou Q) ⇔ (non P ) et (non Q) ;

II Quantificateurs

Soit P(x) une propriété dépendant d’un paramètre x, où x est un élément de E.

⊲ On écrit ∀ x ∈ E, P(x) , pour signifier que la propriété P (x) est vraie pour tous les éléments x de E. (∀ se lit « quel que soit » : quantificateur universel) ;

⊲ On écrit ∃ x ∈ E, P (x) , pour signifier que la propriété P (x) est vraie pour au moins un élément x de E. (∃ se lit « il existe » : quantificateur existentiel) ;

Négation des propositions avec quantificateurs :

• La négation de la proposition ∀ x ∈ E, P (x) est . . . .

• La négation de la proposition ∃ x ∈ E, P (x) est . . . .

Attention lorsque plusieurs quantificateurs interviennent dans une proposition, il est risqué d’intervertir leur ordre d’appa- rition : le sens de la proposition peut changer.

Exemple 1 :

∃a ∈ R , ∀ǫ > 0 , |a| < ǫ

∀ǫ > 0 , ∃a ∈ R , |a| < ǫ

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Exemple 2 : Écrire la négation des propositions

⋄ 2 6 x < y ;

⋄ ∀ x ∈ R , ∀ y ∈ R , f(x) = f(y) ⇒ x = y ;

Exemple 3 : Soit ( u

)

une suite de nombre réels et f une fonction de R dans R . Écrire avec des quantificateurs chacune des propositions suivantes :

⋄ La suite (u

) est majorée par 4 ;

⋄ La suite (u

) est majorée ;

⋄ La suite (u

) n’est pas majorée ;

⋄ La suite (u

) est bornée ;

⋄ La suite ( u

) est croissante ;

⋄ La suite (u

) est constante ;

⋄ La fonction f est la fonction nulle ;

⋄ La fonction f s’annulle ;

⋄ La fonction f est croissante ;

⋄ La fonction f admet un maximum.

III Modes de raisonnement

III.1 Démontrer une proposition par déduction

Le principe de déduction est celui le plus utilisé en maths : si P vraie et P ⇒ Q vraie alors Q est vraie.

Exemple 4 Montrer que, pour tout x ∈ R , x

− 4x + 5 > 0.

III.2 Démontrer par disjonction de cas

On est parfois amené à distinguer plusieurs cas pour démontrer qu’une proposition est vraie. C’est la principe d’une dé- monstration par disjonction de cas. En particulier, si l’on souhaite démontrer qu’une proposition P(x) est vraie pour tous les éléments x d’un ensemble E , on peut prouver la propositon pour tous les éléments d’une partie A de E , puis pour tous les éléments de E n’appartenant pas à A. (un mode de raisonnement particulièrement utiliser en arithmétique)

Exemple 5 : Montrer que, pour tout n ∈ N , n(n + 1)

2 est un entier naturel.

III.3 Démontrer une implication P ⇒ Q

⊲ Par raisonnement direct : On suppose que P est vraie et on démontre que Q est vraie.

Exemple 6 : Démontrer que, pour x et y réels,

x

= y

= ⇒ | x | = | y |

⊲ En utilisant la contraposée : On suppose que non Q est vraie et on démontre que non P est vraie.

Exemple 7 : Soit n un entier naturel. Montrer que, si n

est pair, alors n est pair.

Exemple 8 : Autre exemple. Soit n

, n

, . . . , n

des entiers naturels vérifiant n

+ n

+ . . . + n

= 90. Montrer qu’il existe trois de ces entiers dont la somme est supérieure à 30.

⊲ Par un raisonnement par l’absurde : On suppose que P est vraie et que Q est fausse et on aboutit à une contradiction.

Exemple 9 : Soit x, y ∈ R

. Montrer que, si x

1 + y = y

1 + x , alors x = y.

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III.4 Démontrer une équivalence P ⇔ Q

⊲ Par double implication : On démontre P ⇒ Q , puis on démontre Q ⇒ P (deux démonstrations à faire).

Exemple 10 : Soient a, b et c trois réels, a 6= 0. Montrer que :

Le trinôme ax

+ bx + c a deux racines réelles non nulles et de signes contraires si, et seulement si ac < 0.

⊲ Par un raisonnement direct : On enchaîne les équivalences. On passe de P à Q par une succession d’équivalence en s’assurant, à chaque étape du raisonnement, que l’équivalence est bien conservée. Méthode particuluèrement adaptée au résolution d’équations ou d’inéquations.

Exemple 11 : Résoudre dans R , 2x = √ x

+ 1.

Exemple 12 : Résoudre dans R l’inéquation √

x − 1 > x − 7

Exemple 13 : Autre exemple. Résoudre dans R , √

− 3x

+ 18x − 24 6 √

− 2x

+ 20x − 48

Exemple 14 : Résoudre dans R l’inéquation √

3 − x − √

x + 1 > 1 2

III.5 Utiliser un contre-exemple

La négation de la proposition « ∀ x ∈ E, P (x) » est « ∃ x ∈ E, non P (x) ». Si l’on souhaite démontrer qu’une proposition du type « ∀ x ∈ E, P(x) » est fausse, il suffit de trouver une valeur x de E pour laquelle la proposition P (x) est fausse. On utilise alors un contre-exemple.

Exemple 15 : La proposition « tout entier naturel est somme de trois carrés » est-elle vraie ?

III.6 Raisonner par analyse-synthèse

Le raisonnement par analyse-synthèse est utilisé pour déterminer les solutions d’un problème donné lorsque la rédaction

« par équivalence » est impossible ou délicate.

• Dans la première partie (ANALYSE), on détermine les propriétés d’une éventuelle solution de manière à limiter sévèrement les possibilités.

• La seconde partie (SYNTHESE), parmi les solutions fournies par l’analyse, lesquelles sont effectivement solutions du problème.

Exemple 16 : Déterminer toutes les applications f de N dans R vérifiant

∀ m, n ∈ N , f(m + n) = f(m) + f(n)

Exemple 17 : Déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de 2x + 5y = 7 (E) (équation diophantienne ) (Au programme de la spécialité maths en TS)

En phase d’analyse : soit (x, y) ∈ Z

une solution de (E). On parvient, moyennant l’utilisation du théorème de Gauss, à démonter que (x, y) = (1 + 5k, 1 − 2k) avec k ∈ Z ; Il reste à effectuer la synthèse.

III.7 Effectuer un raisonnement par récurrence

Déjà vu en début d’année : « Récurrence simple » et « Récurrence forte (avec prédécesseurs) »

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