Fonctions exponentielles népériennes ,fonctions puissances, fonctions exponentielles de base a , a ǫ R

,fonctions puissances, fonctions exponentielles de base a , a ǫ R

Présenté par

NDEDI EPEE GUILLAUME FRANCIS

résumé du document

I Ressource 10a et 10b :fonctions exponentielles né- periennes,fonctions puissances,fonctions exponentielles

de base a , a ǫ R 1

1 introduction 2

1.1 Rappels et utilisations . . . . 2

1.1.1 objectifs pédagogiques . . . . 2

1.1.2 Préréquis . . . . 2

1.1.3 Historiques . . . . 3

1.1.4 Utilisations . . . . 3

1.1.5 Place dans le programme . . . . 4

2 Présentation des fonctions exponentielles 5 2.1 Présentation . . . . 5

2.1.1 Activités . . . . 5

2.1.2 Définitions et propriétés . . . . 9

2.1.3 Étude des fonctions exponentielles . . . 12

2.1.4 Dérivées successive et Primitives . . . 14

2.1.5 Résolution des équations et inéquations avec le sym- bole e . . . 18

3 Présentation des fonctions puissances et des fonctions expo- nentielles de base a , a ǫ R 20 3.1 Présentation . . . 20

3.1.1 Puissance réelle d’un réel . . . 20

3.1.2 Fonctions puissances . . . 23

3.1.3 Fonction exponentielles de base a , a ǫ R . . . 25

3.1.4 Croissances comparées des fonctions de reférence . . . . 27

4 Applications 29

4.1 Applications en médécine . . . 29

4.1.1 Effet d’un médicament dans l’organisme d’un homme . 29 4.2 Application en physiques . . . 32

4.2.1 Radioactivité . . . 32

4.3 Application en statistique . . . 33

4.3.1 Ajustement exponentielle . . . 33

4.4 Application en statistiques . . . 35

4.4.1 Ajustement par une fonction puissance . . . 35

5 Exercices d’entrainement 38 5.1 vrai ou faux . . . 38

5.2 Exercices d’applications . . . 38

5.2.1 Valeurs numériques . . . 38

5.2.2 Equations . . . 38

5.2.3 Systèmes d’équations . . . 40

5.2.4 Inéquations , systèmes d’inéquations . . . 40

5.2.5 Limites . . . 41

5.2.6 Calculs des dérivées . . . 41

5.2.7 Calculs des primitives . . . 42

5.2.8 Etude des fonctions . . . 43

5.3 Corrections des exercices . . . 44

5.3.1 Vraie ou faux . . . 44

5.3.2 Exercices d’applications . . . 44

5.3.3 calculs numériques . . . 44

5.4 Problemes . . . 55

Bibliographie 58

Ressource 10a et 10b :fonctions exponentielles

néperiennes,fonctions puissances,fonctions

exponentielles de base a , a ǫ R

introduction

La notion de fonction a été introduite dans la classe de seconde.Mais en classe de terminale, après avoir enseigné la notion de fonc- tions logarithmes népériens, nous allons introduire les notions de fonctions exponentielles,foncttions puissances et fonctions expo- nentielle de base a , a ǫ R .En éffet,de nombreux phénomènes physiques, biologiques, et économiques, ont été modélisés par une fonction qui est proportionelle à sa dérrivée. L’étude de cette fonc- tion doit son existence à LEONHARD EULER : Mathematicien suisse , né en 1707.

La particularité de cette fonction est qu’elle transforme la somme en produit.

1.1 Rappels et utilisations

1.1.1 objectifs pédagogiques

On désigne par u une fonction numérique tel que : u(x) 6 = x . Àprès le cour sur les fonctions exponentielles, l’élève sera capable de :

– Etudier et tracer la fonction f : x 7→ exp(u(x)) – Etudier et tracer la fonction g : x 7→ exp( | u(x) | ) – Etudier et tracer la fonction h : x 7→ a

– Déterminer les primitives des fonctions u

exp(u(x))

– Résourdre les équations et inequations avec le symbole e .

1.1.2 Préréquis

Les fonctions exponentielles sont différentes des autres par leur notation

e et par leurs propriétés.

Pour mieux aborder cette leçon l’élève doit connaitre les notions suivantes : – La monotonie ;

– La continuité ; – La bijection ;

– Les dérivées et primitives ;

– L’études des fontions logarithmes de base a , a étant un réel

1.1.3 Historiques

Dans A history of mathématic souvent réédité,l’exelent proffeseur CARL B BOYER attribue l’invention de la fonction logarithme au barron de Mun- chinton JOHN NAPIER(NEPER) vers 1594. CARL B BOYER est moins précis pour la fonction exponentielle. IL indique qu’ARCHIMEDE à exprimé des grands nombres avec l’usage de ses “tétraèdres“. Au moyen âge ,THO- MAS BRAWARDINE a fait un pas en direction de l’étude des fonctions transcendentales . NICOLE ORESME l’a suivi en généralisant la théorie de production(modèle exponentielle de MALTHUS).Mais la fonction expo- nentielle , comme nous l’avons mentioné dans notre introduction doit son existence à LEONHARD EULER. Ce Dernier était le fils d’un pasteur. Ses études portaient sur des lettres, la théologie et la médécine,jusqu’à l’âge de 17 ans. Il fut persuadé par la famille BERNOULI à l’âge de 18 ans de s’orienter vers les Mathémathiques .En 1727, il s’installa à Saint petersbourg à l’aide de la famille BERNOULLI auprès de PIERRE PREMIER LE GRAND. ET remplaça DANIEL BERNOULLI en 1733 à l’académie des sciences de Paris.

Il présida cette académie jusqu’en 1755. Vers la fin de sa vie, il revient à saint petesbourg. Son œuvre est considérable. EULER intervient dans trois domaines fondamentaux des sciences de son époque : L’astronomie (orbite planetaire , trajectoire des comètes) les sciences physiques(champs magne- tiques , optiques, nature ondulatoire de la lumière , mécanique des solides).

1.1.4 Utilisations

– Utilisations en médècine : On utilise cette fonction par exemple pour déterminer le temps d’effet d’un médicament dans l’organisme d’un homme.

– Utilisation en radio activité : Elle nous permet d’étudier la loi d’évolu- tion d’un corps radio actif.

– En thermodynamique : On utilise cette fonction pour déterminer la loi

– En démographie : Cette fonction est étudiée pour déterminer la crois- sance d’une population

1.1.5 Place dans le programme

Dans le programme camerounais,les enseignants abordent la notion de

fonctions exponentielles après celle de fonctions logarithmes.

Présentation des fonctions exponentielles

2.1 Présentation

Les approches pédagogiques d’une fonction exponentielle se font à l’aide de plusieurs activités.

2.1.1 Activités

.

Activité 2.1.1. Objectifs visés : consolider les acquis sur la fonction loga- rithme néperien et étudier la reciproque de cette fonction.

Enoncé commentaire

le plan est muni du repère orthonormal (O ;~ı, ~). On considère la fonction f : x 7→ ln(x) .

1. Après avoir précisé le domaine de définition de f, Étudier son sens de variation .

2. Cette fonction admet t’elle une bijection réciproque ? Si oui,on note f

cette réciproque.

3. Dans un papier milimétré, represénter graphiquement la fonction f. On note (Cf) la courbe représentative de f.

4. En déduire la courbe représentative de la reciproque de f à l’aide de (Cf) .

on retrouve des

éléments qui nous

permettent d’intro-

duire les notions de

fonctions exponen-

tielles

Activité 2.1.2. Objectifs visés : Présenter la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme népérien.

Enoncé commentaire

le plan est muni du repère orthonornal (O ;~ı, ~). On considère la fonction f de l’activité 2.1.1

1. En utilisant la formule de la dérivée de la réciproque d’une fonction, démontrer que (f

)

= f

2. Justifier graphiquement que pour tout x ǫ IR f

(x) >

0

3. Étudier graphiquement le sens de variation de f 4. Calculer f

(0)

l’éleve poura faire des remarques sur les pro- piétés de la fonction exponentielle.

Avant de passer à l’activité suivante , nous rappelons aux élèves que les équations du type :

f

= λf où λ ǫ IR

sont les équations différentielles du premier ordre. les solutions de ces équa- tions si elles existent sont des fonctions continues dans des domaines de dé- finition que l’on précisera.

Activité 2.1.3. Introduire la fonction exponentielle à l’aide de la méthode d’Euler.

Cette activité possède deux parties :

Partie I : partie théorique

Enoncé commentaire On suppose qu’il existe une fonction f non nulle, définie et

dérivable sur IR telle que : f

= f

1. Soit λ ǫ IR . On pose g = λf : Démontrer que : g

= g sur IR

2. Soit maintenant g une fonction vérifiant aussi : g

= g sur IR

Que peut-on dire de f + g ?

3. Supposons ensuite qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur R vérifiant les conditions suivantes :

(p)

( y ˙ = y y(o) = 1

(a) On considère la fonction c définie sur IR par : c(x) = f(x).f( − x)

Montrer que c est une fonction constante égale à 1

sur IR

(b) Démontrer que si g est une fonction qui vérifie (P ) alors g = f sur IR. (On pourra considérer la fonction h définie par h =

)

(c) Vérifier que la fonction f définie dans l’activité 2.1.2 est solution du système différentiel f.

On constate dans cette partie que s’il existe une fonction non nulle f qui vérifie l’équation différentielle :

˙

y = y alors il en existe une infinité .Cependant s’il existe une condition initiale à notre équation diffé- rentielle , alors la solu- tion est unique.

Partie II : partie numérique

Enoncé commentaire On rappelle que si f est une fonction dérivable en a , alors

il existe une fonction ϕ telle que :

f(a + h) = f (a) + hf

(a) + hϕ(h) où lim

h→+∞

ϕ(h) = 0 D’où l’approximation f (a+h) ≈ f (a)+hf

(a) C’est sur cette approximation dite affine qu’est basée la méthode d’Euler.

1. En utilisant les conditions satisfaites par f , démontrer que pour tout n ǫ IN :

f (a + nh) ≈ (1 + h)

f (a)

2. On détermine U

la suite définie sur IN par : U

= (1 + h)

f(a)

Démontrer que (U

) est une suite géométrique et pré- ciser sa raison.

3. Dans cette question on suppose que a = 0 on a donc : f (nh) ≈ (1 + h)

(a) On pose x = nh : démontrer que pour n assez grand :

f (x) ≈ (1 + x n )

Cette approximation est d’autant meilleur que n est grand

(b) Tracer les courbes approximatives de la fonction f pour les valeurs de n égales à 10 , 100 et 1000.

(c) En prenant n = 10000 , donner une valeur appro- chée du nombre

f(1) ≈ (1 + 1 n )

NB : Le nombre f(1) est encore noté e c’est pour- quoi on dit que :

e = lim

n→+∞

(1 + 1 n )

On constate que

cette approximation

est d’autant meilleure

que h est petit. C’est

cette suite (U

) définie

par U

(x) = (1 +

)

que nous utilise-

rons pour montrer

rigoureusement l’exis-

tence de la fonction

exponentielle.

Remarque 2.1.1

1. Dans l’activité 2.1.1 , on remarque que la fonction logarithme népérien est une fonction bijective sur ]0 ;+ ∞ [ qui admet une bi- jection réciproque. cette bijection réciproque est appelée fonction exponentielle.

2. Dans l’activité 2.1.3 , les deux parties nous permettent de dire qu’il existe une unique fonction continue sur IR qui vérifie le système différentiel

(p)

( y ˙ = y y(o) = 1

Cette fonction est la fonction exponentielle. Nous allons voir dans la suite, que cette fonction possède des propriétés remarquables .

2.1.2 Définitions et propriétés Définition 2.1

On appelle fonction exponentielle , la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Notation 2.1.1. On note e

ou exp(x) l’image d’un réel x par la fonction exponentielle

Conséquenses :

• La fonction exponentielle a pour ensemble de définition IR et pour ensemble d’arrivée ]0; + ∞ [ . ;

• Pour tout réel x , pour tout y de ]0; + ∞ [ , y = e

équivaut à x = ln(y) ;

• Pour tout réel x , ln(exp(x)) = x ;

• pour tout réel strictement positif, y , exp(lny) = y

• exp(0) = e

= 1 et exp(1) = e

= e

Ces égalités, qui traduisent le fait que ces fonctions sont réciproques l’une de

l’autre , servent dans la résolution d’équations.

Exemple 2.1.1

1. Résolution d’équation d’inconnue x : 2lnx

− ln3x = 2

L’ensemble de définition de cette équation est D

=]0; + ∞ [ . Puisque lnx

= 2lnx : cette équation est équivalente à :

4lnx − ln3 − lnx = 2

on trouve lnx =

. Puisque la fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln , x = exp(

) . Ce nombre strictement positif est dans D

donc S = { e

} 2. Déterminons exp(2x) ou e

en fonction de x . Soit y stric-

tement positif tel que

y = e

En appliquant les égalités des cons équences précédentes , ceci équivaut à 2x = lny c’est á dire x = ln √ y . On a donc √ y = e

soit y = (e

)

Finalement :

e

= (e

)

Nous allons généraliser ce cas ultérieurement.

Calculatrice scientifique : Nous voulons déterminer une valeur approchée du nombre e

, a ǫ IR. Pour cela on tape successivement les touches

a Inv ln

Comme exemple on a : e

donne

9,9741824548

Propriété 2.1

La fonction exponentielle est une fonction bijective strictement crois-

sante de IR sur ]0; + ∞ [

Allure de la courbe représentative :

Plaçons nous dans un repère orthonormé (O ;~ı, ~ ) du plan. soit (C) la courbe représentative de la fonction exponentielle. Et soit (Γ) celle de la

fonction logarithme népérien. Désignons par (∆) la droite d’équation : (∆) : y = x

. D’après l’activité2.1.1 , La courbe (C) est l’image de (Γ) par rapport à (∆) . On obtient la figure suivante.

-2 -1 0 1 2 3

1 2 3

− 1

− 2

1 2 3

− 1

− 2

fig1 (C)

(Γ)

Activité 2.1.4. Objectif visé : présenter les propriété de la fonction expo- nentielle

Énoncé Commentaire

1. On considère x et y deux réels . Jus- tifier que

e

= e

e

. 2. Démontrer que :

(a) e

=

(b) e

=

(c) e

= (e

)

Les reponses à ces diffé-

rentes questions permettent

à l’élève de découvrir les

proriétés de la fonction ex-

ponentielle.

2.1.3 Étude des fonctions exponentielles

Limites aux bornes du domaine de définition

propriété 2.4

On a

x→

lim

e

= + ∞

x→−∞

lim e

= 0

Remarque 2.1.2

Ces résultats sont en accord avec ce que la courbe (C) nous laisse pres- sentir (fig 1).

Dérivabilité

Théorème 2.1

La fonction exponentielle est dérivable sur IR . Elle est égale à sa dérivée. c-à-d : Pour tout réel x , (e

)

= e

Preuve Nous admettrons d’après la courbe (C) de la fig1 que la fonction exponentielle est dérivable sur IR à valeur dans ]0; + ∞ [ En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées,à ln ◦ exp , on obtient : 1 = (e

)

d’où (e

)

= e

Comportement asymptotique – Au voisinage de −∞

On a lim

x→−∞

e

= 0.

Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction exponentielle au voisinage de −∞ . – Au voisinage de + ∞ ,on a

x→

lim

e

= + ∞ .

Donc la fonction exponentielle admet une branche infinie au voisinage de + ∞ .

Etudions lim

x

à travers l’activité suivante.

Activité 2.1.5. Objectif : introduire la limite de reférence.

Enoncé Commentaire On considère la fonction ϕ : x 7→

1. Montrer que :

x→

lim

ϕ(x) = 0

(on utilisera la notion de limite de re- férence dans la resource de la fonction logarithme).

2. Justufier que pour tout

x ǫ ]1, + ∞ ] ϕ(x) > 0 3. (a) Monter que ϕ(e

) =

(b) Calculer lim

x

Dans cette activité , l’appre- nant découvre la limite de reférence.

Tracé de la courbe

Désignons par (C) . La courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormal (O ;~ı, ~ ). Désignons par : (T

) la tangente en M

(0; 1) à la courbe (C). (T

) la tangente en M

(1; e) à la courbe (C). Une équation de (T

) est y = x + 1. Une équation de (T

) est y = ex. On obtient la courbe suivante.

1 2 3

− 1

− 2

1 2 3

− 1

− 2

-2 -1 0 1 2 3

fig2

(C)

2.1.4 Dérivées successive et Primitives

Dérivées successives

On rappelle que la fonction exponentielle est derivable sur IR .Pour tout x ǫ IR

(exp(x))

= exp(x) .Pour tout entier naturel n ,

exp

(x) = exp(x)

Exemple 2.1.2

Calcul des dérivées premières et seconde de f définie par f (x) = (ax

+ bx + c)e

où a ; b et c sont tous les réels ( a 6 = 0 ) cette fonction étant le produit de deux fonctions 2 fois dérivables sur R est 2 fois dérivables sur IR : Pour tout x réel :

f

(x) = (2a + b)e

+ f (x)

donc f

(x) = [ax

+ (b + 2a)x + (b + c)]e

et f

(x) = (2ax + (b + 2a))e

+ f

(x) donc f

(x) = [ax

+ (b + 4a)x + 2a + 2b + c]e

Primitive de la fonction exponentielle.

Puisque la fonction exponentielle coïncide sur IR avec sa dérivée, elle ad- met une infinité de primitive sur IR. (étant dérivable sur IR, elle est continue sur IR ). On obtient donc la propriété suivante.

Propriété 2.6

La fonction exponentielle admet une infinité de primitive sur R de la forme : e

+ k ; où k est un réel

Dérivées des fonctions composées

Application à la recherche des primitives

Propriété 2.7

u étant une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction e

est dérivable sur I et on a : (e

)

= u

e

:

Exemple 2.1.3

Donnons la dérivée de la fonction

f (x) = e

on a :

f

(x) = (xcosx)

e

donc :

f

(x) = (cosx − xsinx)e

.

Application à la recherche des primitives par lecture inverse de la formule de dérivée de la fonction e

.

Une primitive de la fonction u

e

est e

Exemple 2.1.4

Soit f la fonction définie sur R par

f(x) = (2x + 1)e

f est continue sur R et admet une infinité de primitive sur R . si u(x) = x

+ x

alors

u

(x) = 2x + 1

. Il suit que f (x) = u

(x)e

Donc une primitive de la fonction f est la fonction F définie par

F (x) = e

Travaux dirigés :

TD1 :Enoncé

On considère la fonction f définie par f (x) = e

: question1 Donner le domaine de définition de la fonction f question2 – calculer la dérivée de f puis étudier son signe

– calculer les limites aux bornes du domaine de definition de f – Déterminer le tableau de variation de la fonction f

question3 construire la courbe repr ?sentative (C

) de cette fonction.

Dans un rep ?re othonormal (O ;~ı, ~) Solution guidée :

reponse1 Observer simplement l’étude du domaine de définition de la fonc- tion exponentielle.

reponse2 – Utiliser la formule de la dérivée des fonctions de la forme e

– Utiliser le signe de la dérivée de f

– Le calcul des limites est évident : il suffit de penser à la notion de limites des fonctions composées

reponse3 – Préciser et construire les tangentes aux points d’abscisses 0 et 1. On prendra e ≃ 2; 718

– -Étudier si possible les branches infinies de la fonction f .

-2 -1 0 1 2 3 4

1 2 3

− 1

− 2

1 2 3

− 1

− 2

fig3

(C

)

TD2 :Enoncé

On considère la fonction g définie par g (x) =

r e

1 + e

question1 Préciser l’ensemble de définition de la fonction g

qeustion2 Donner le domaine de dérivation de la fonction g puis déterminer la dérivé g

de g

question3 – Calculer les limites aux bornes du domaine de g – Déterminer le tableau de variation de g ,

– construire la courbe (C

) représentative de la fonction g dans un repère orthonormé

Solution guidée :

reponse1 Observer les conditions d’existences de la fonction racine carrée.

reponse2 utiliser la formule des dérivées des fonctions composées pour ob- tenir le resultat suivant :

g

(x) =

√ e

2(1 + e

)

.Il suit que g est strictement croissante sur R

reponse3 – on a lim

g(x) = 0 et lim

g(x) = 1 – tableau de variation :

x −∞ + ∞

1

g(x) ր

0

– representation graphique de g :

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

fig4 (C

)

2.1.5 Résolution des équations et inéquations avec le symbole e

Travaux dirigés :

TD3 :Enoncé

Résoudre les équations suivantes :

e

+ 3e

− 4 = 0 (2.1)

(2 − √

2)e

− 2e

+ 4( √

2 − 1)e

= 0 (2.2) e

− 3e

+ e

− 1 = 0 (2.3)

Solution guidée :

Dans tous les cas il faut poser X = e

Pour (2.9) par exemple on obtient l’équation (E

) suivante

(E

) : X

+ 3X − 4 = 0

Cette équation du second degré a pour solution S

= {− 4; 1 } .Mais ; X > 0 donc on ne peut pas utiliser -4. Ainsi X = 1 c’est-à-dire x = ln1 = 0 : D’où l’ensemble solution S est S = 0

TD4 :Enoncé

Résoudre les inéquations suivantes :

e

+ 3e

− 4 < 0 (2.4) e

− 3e

+ e

− 1 > 0 (2.5) Solution guidée : Dans tous les cas il faut poser X = e

Pour (2.12) par exemple , on obtient d’après le TD précédent, (X + 4)(X − 1) < 0 or X + 4 > 0 donc l’inéquation (2.12) équivaut à X − 1 < 0 d’où x < 0 . Il

suit que : S =] − ∞ ; 0[

Présentation des fonctions puissances et des fonctions exponentielles de base a , a ǫ R

3.1 Présentation

3.1.1 Puissance réelle d’un réel

Dans les classes inférieures, nous sommes habitués à travailler avec les notations du type a

où a ǫ R et n ǫ Z . Mais à l’aide de la fonction exponentielle, les notations du type a

, a

... ont un sens.

Activité 3.1.1. Objectifs visés :Introduire la notion de fonctions puissances.

Énoncé Commentaire

Considérons deux nombres r ?els a et b .

1. Calculer ln(a

) dans chacun des cas suivants :

(a) a = 1 (b) a = e (c) a ǫ R

2. Calculer e

3. comparer a

et e

4. Si a ≤ 0 ,peut-on caulculer a

Nous ammenons l’élève ici à

découvrir la notion de puis-

sance réelle d’un réel.

Activité 3.1.2. Objectifs visés :Introduire les propriétés des fonctions puis- sances.

Enoncé Commentaire

Considérons les réels strictement posi- tifs a , a

, b et b

. à l’aide des résultats de l’activité 3.1.1, justifier les égalités suivantes :

a

× a

= a

a

= 1

a

a

a

= a

a

× a

= (a × a

)

a

a

= ( a

a

)

Cette activité nous permet d’introduire les propriétés des fonctions puissances

Calculatrice scientifique : la touches

x

permet d’obtenir les valeurs décimales approchées des puissances réelles.

Exemple : 2.5

donne

17,763626261

Exemple 3.1.1

Les données sont des valeurs approch ?es ? 10

près par défaut.

(1, 05)

≈ ..0, 93 ; π

≈ 12.9318 ; √

3

≈ 4.4504

Définition 3.2

On appelle fonction racine n

( n entier naturel non nul ) la bijection réciproque de la fonction définie sur R

par x 7→ x

.

Propriété 3.2

La fonction racine nième est définie sur et pour tout réel

Exemple 3.1.2

Pour n = 2 , on retrouve la fonction racine carrée. Pour n = 3 , on retrouve, la fonction racine cubique. Les graphes de ces trois fonctions sont représenter dans la figure suivante :

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

fig5 y = x

y = x

y = x

y = x

y = x

Exposants rationels

Définition 3.3

Soit p et q deux entiers relatifs, tels que q soit non nul. Soit a un réel strictement positif. on a

a

= a

= √

a

Exemple 3.1.3

On peut interprèter a

comme la racine carrée du cube de a. Et a

comme la racine cubique du carré de a .

Généralement

On peut interprèter a

comme la racine q

de a puissance p . La fonction a

où a est un réel strictement positif ayant une signification, on peut construire ces fonctions, en faisant varier a dans ]0; + ∞ [ , avec b une constante de R , ces fonctions seront appelées fonctions puissances.

3.1.2 Fonctions puissances Définition 3.4

On appelle fonction puissance toute fonction définie sur ]0; + ∞ [ par : x 7→ x

où α est un réel.

Notation 3.1.1. x

= e

; α ǫ R : ainsi , x ne peut être qu’un réel strictement positif.

Théorème 3.1

α étant un réel fini, la fonction puissance f définie par x 7→ x

est dérivable sur ]0; + ∞ [ et f

(x) = αx

Etude des variations de la fonction f définie dans le théorème pré- cédent

Si α = 0 , pour tout x > 0 alors x

= e

= e

= 1 : cette fonction est alors constante. Si α > 0 , la fonction x 7→ αlnx est strictement croissante sur ]0; + ∞ [ et , en composant par la fonction exponentielle , il suit que la fonction x 7→ x

est strictement croissante sur ]0; + ∞ [

– Limites aux bornes de l’ensemble de définition On sait que , pour tout x > 0 , x

= e

Propriété 3.3

Soit α un r ?el non nul, et x un réel strictement positif.

– Si α > 0 alors lim

x

= + ∞ et lim

x

= 0 – si α < 0 alors lim

x

= 0 et lim

x

= + ∞ Preuve on a x

= e

. Posons t = αlnx

– si α > 0 alors . . si x tend vers + ∞ alors t tend aussi vers + ∞ . Il suit que e

tend vers + ∞ . On peut donc conclure que :

α

. Si x tend vers 0

alors t tend vers −∞ .Dans ce cas e

tend vers 0 d’où :

x→0

lim x

= 0

– si α < 0 alors si x tend vers + ∞ , t tend vers −∞ , Il suit que e

tend vers 0. On peut donc conclure que :

x→+∞

lim x

= 0

si x tend vers 0

alors lnx tend vers −∞ . Dans ce cas, t tend vers + ∞ . Donc e

tend vers + ∞ .D’où x

tend vers + ∞ On peut résumer l’étude faite précédemment dans les tableaux de variation

suivants :

α < 0 α > 0

x 0 + ∞

+ ∞

x

ց

0

x 0 + ∞

. + ∞

x

ր

0 Représentation graphique

L’allure des courbes représentatives (C

) des fonctions x 7→ x

est indiquée sur la figure selon les valeurs de α . Lorsqu’on observe la figure 6, on constate que les fonctions x 7→ x

et x 7→ x

coincident sur 0 et n’ont pas le même comportement au voisinage de l’origine. Il est donc nécessaire, lorsque α > 0 d’étudier suivant α , le comportement au voisinage de l’origine de la courbe représentative de la fonction x 7→ x

Pour cela considérons la fonction g définie par g(x) =

( x

si , x > 0 0 si , x = 0

g est le prolongement par continuité de la fonction x 7→ x

en 0.

Étude de la dérivabilité de g en 0 Pour tout réel h > 0 on a

g (h) − g(0)

h = h

h Donc Si α > 1 alors lim

h^α

= 0 ; Ainsi la droite y = 0 est

tangente horizontale à l’origine à la courbe représentative de la fonction g .

si 0 < α < 1 , la droite d’équation x = 0 est tangente verticale à l’origine

à la courbe représentative de la fonction g .

3.1.3 Fonction exponentielles de base a , a ǫ R Définition 3.5

Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a , la fonction de R dans ]0; + ∞ [ définie par ; x 7→ a

.

Remarque 3.1.1

On a a

= e

donc a est un réel strictement positif.

Si a = e

, on obtient naturellement la fonction exponentielle.

Si a = 1

on a a

= e

= e

= 1 , on obtient la fonction constante égale à 1 sur IR : Ces deux cas seront exclus pour la suite. la fonction exponentielle de base a est parfois notée exp

(x) ou e

= a

.

. Dans la suite, nous allons présenter les méthodes d’étude d’une fonction exponentielle à l’aide des activités suivantes :

Activité 3.1.3.

Énoncé commentaire

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ;~ı, ~) ; soit f la fonction définie par f(x) = 2

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de cette fonction.

2. Préciser le sens de variation de la fonction f

3. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction f ; puis préciser si-possible les asymptotes à la courbe de la fonction f.

4. Écrire l’équation de la tangente à la courbe Cf au point de coordonnées (0; 1) :

la fonction g est la

composée de la fonc-

tion x 7→ xln2

par la fonction expo-

nentielle. l’élève doit

utiliser cette intuition

pour retrouver la déri-

vée de cette fonction.

Activité 3.1.4.

Enoncé commentaire

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;~ı, ~), soit g la fonction définie par g(x) = (0, 2)

– Étudier la continuité et la dérivabilité de cette fonction – Préciser le sens de variation de g

– Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction g ; puis préciser si-possible les asymptotes à la courbe (C

) de la fonction g .

– Écrire l’équation de la tangente à la courbe (C

) au point de coordonnées (0; 1)

.

La fonction g est la composée de la fonc- tion x 7→ xln(0.2) par la fonction expo- nentielle .

La figure 6, nous donne les courbes représentatives des fonctions f et g définies dans chacune de ces activités

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

fig6 y = 0.2

y = 2

Cas général

Soit f (x) = a

donc f(x) = e

;On a

f

(x) = lnae

Comme pour tout x ǫ R , a

> 0 , le signe de f

(x) dépend du signe de lna . Ainsi,

– si 0 < a < 1 alors lna < 0 donc f est strictement décroissante – Si a > 1 alors lna > 0 donc f est strictement croissante on obtient donc les différents tableaux de variation suivants :

0 < a < 1 a > 1

x −∞ + ∞

+ ∞

a

ց

0

x −∞ + ∞

. + ∞

a

ր

0

Remarque 3.1.2

On a : (

)

= a

pour tout réel x , donc les courbes représentatives des fonctions x 7→ a

et x 7→ (

)

sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées , leurs sens de variation sont donc bien contraires.

3.1.4 Croissances comparées des fonctions de reférence

Les fonctions x 7→ e

, x 7→ lnx , x 7→ x

sont des nouvelles fonctions de référence. On peut donc comparer leurs évolutions vers + ∞ ou −∞ et étudier les formes indéterminées qui en découlent. Quelques résultats sont connus à savoir :

x→+∞

lim lnx

x = 0 (3.1)

x

lim

xlnx = 0 (3.2)

x→+∞

lim e

x = + ∞ (3.3)

Nous allons nous attarder sur le resultat (3.3) et le généraliser en faisant intervenir x

au lieu de x .

Théorème 3.2

Soit α un réel quelconque. on a

x→+∞

lim e

x

= + ∞

;

x→+∞

lim x

e

= 0

– si α > 0 ,il y’a indétermination. soit donc u(x) = ln( e

x

)

u est bien définie sur ]0; + ∞ [ . Pour tout x > 0 , u(x) = lne

− lnx

= x − αlnx

= x(1 − α lnx x ) comme lim

x

= 0 , on a lim

(1 − α

) = 1 et donc lim

u(x) = + ∞ or

= e

,donc par composition, on a

x→+∞

lim e

x

= + ∞

Ce résultat est vraie pour tout réel α . De même , la fonction x 7→ x

e

est définie sur ]0; + ∞ [ .

– si α < 0, lim

x

= 0 et lim

e

= 0 .

– si α > 0 ,il y’a indétermination. Mais x

e

=

=

comme lim

e^x

x^α

= + ∞ ,pour la limite de la fonction in- verse,on a lim

x

e

= 0

Exemple 3.1.4

Soit g, g(x) = e

− x

g est défini sur R et

x→−∞

lim g(x) = −∞ .

Mais au voisinage de + ∞ , il y a indétermination . On a donc g (x) = e

− x

= x

(

− 1) ,pour tout x non nul ; Or d’après le théorème 3.2, lim

e^x

x¹⁰⁰

= + ∞ donc lim

(

− 1) = + ∞ d’où

x→+∞

lim g(x) = + ∞

L’etude que nous venons d’entreprendre à partir du théorème (3.2) traduit le fait que

Au voisinage de + ∞ , la croissance vers + ∞ de la fonction exponentielle est plus rapide que celle de la fonction puissance qui est elle

même plus rapide que celle de la fonction logarithme népérien.

Applications

Comme nous l’avons mentionner à l’introduction, de nombreux phénomènes évolutifs conduisent à l’utilisation de la fonction exponentielle . Ce sont des cas dit de croisances ou de décroissances exponentielles. Ces phénomènes

sont présents dans toutes les disciplines scientifiques .

4.1 Applications en médécine

4.1.1 Effet d’un médicament dans l’organisme d’un homme

Enoncé 4.1.1 on injecte toutes les huit heures dans le sang d’un malade une quantité q

de sérum , exprimée en cm

. Après élimination naturelle ,la quantité restante de ce sérum , en cm

, au bout d’un temps t , exprimée en heure , est q

e

1. – Calculer en fonction de q

, la quantité restante de sérum contenue dans le sang après 8 heures,16 heures,24heures (à chaque fois , avant la nouvelle injection).

– Soit q la fonction qui à t associe la quantité totale de sérum contenue dans le sang au bout de ce temps t .Exprimer q(t) en fonction de q

et t sur l’intervalle [0; 48] . Dans la suite , on prendra q

= 1cm

.

– Représenter graphiquement la fonction q dans ce même intervalle 2. Le sérum n’est éfficace que si le sang en contient en permanence au

moins une quantité égale à 2 cm

. Déterminer graphiquement l’instant à partir duquel le sérum sera éfficace.

3. – Déterminer en fonction de n la quantité de sérum restant dans le

sang immédiatement après la n

injection.

– La quantité de serum contenue dans le sang ne doit pas dépasser 3.6cm

. Démontrer que malgré cette restriction , on peut indéfini- ment poursuivre les injections.

(Daprès CIAM)

Hypoth?ses: 4.1.1. (h

) − Tous les 8 heures le malade reçoit une quantité q

(en cm

) de sérum .

(h

) − La quantité restante de ce sérum apr ?s un instant t est q

e

Solution 4.1.1. s

− Calcul en fonction de q

de la quantité de serum

restant après chacune des périodes suivantes :

– Après 8 heures avant une nouvelle l’injection : D’après (h

) ,on trouve q

e

– Après 16 heures avant une nouvelle injection : D’après (h

) ,après 8 heures après une nouvelle injection l’organisme du patient contient une quantité en cm

de sérum égale à

q

e

+ q

Ainsi, après 16 heures avant une nouvelle injection, il lui reste : q

e

(1 + e

)

– Après 24h avant une nouvelle injection : D’après (h

) ,après 16 heures après une nouvelle injection, l’organisme de cet homme contient

q

e

(1 + e

+ e

)

Ainsi, après 24 heures avant une nouvelle injection il lui reste : q

e

(1 + e

+ e

)

s

: q désigne la fonction qui à t associe la quantité totale de sérum conte- nue dans le sang au bout du temps t. Exprimons q(t) en fonction de q

au bout du temps t sur l’intervalle [0 ; 48 ].

– sur [0; 8[ , q(t) = q

e

– sur [8; 16[ , q(t) = q

e

(1 + e

)

– sur [16; 24[ , q(t) = q

e

(1 + e

+ e

)

– sur [24; 32[ q(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ e

)

– sur [32; 40[ q(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ e

+ e

)

– sur [40; 48[ q(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ e

+ e

+ e

)

Hypoth ?ses : On prends q

= 1cm

. Représentons graphiquement chacune des fonctions définies précédemment :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 0

1 2 3 4

fig7 s

Graphiquement,on trouve t = 32 heures

s

– Soit q

la quantité de serum restant dans l’organisme du patient après la n

injection , on a d’après s

q

(t) = q

e

q

(t) = q

e

(1 + e

) q

(t) = q

e

(1 + e

+ e

) q

(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ e

)

q

(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ e

+ e

) on trouve finalement

q

(t) = q

e

(1 + e

+ e

+ ...e

)

par identification d’une suite géométrique,on obtient : q

(t) = q

e

n3

1−e¹3

– D’après l’hypothèse , le patient reçoit une injection tous les 8 heures.

donc si n désigne le nombre d’injection et t la période d’élimination du sérum , on a n =

+ 1 ainsi en remplaçant n par sa valeur dans q

, on obtient q

(t) = e

t 24e3¹

1−e¹³

car q

= 1cm

finalement on obtient q

(t) =

t 24−e¹³

1−e¹3

. Lorsque n tend vers + ∞ , t tend

aussi vers + ∞ . un calcul approchées de cette limite nous donne

3.528 .Ainsi,pour n assez grand, q

(t) ≍ 3.528 et 3.528 < 3.6 On

peut donc conclure que malgré cette restriction,on peut indéfiniment

poursuivre les injections.

4.2 Application en physiques

4.2.1 Radioactivité

Enoncé 4.2.1 :La loi d’évolution d’un corps radioactif est donnée par la formule

N

= N

e

, a étant une constante positive et N

le nombre d’atomes contenus dans un éhantillon de ce corps au temps t

1. On désigne par T le temps au bout duquel N

=

N

. Exprimer a en fonction de T.Comparer N

+ T ? N

. T est appelé période du corps radioactif .

2. Au bout de combien de temps 1g de radium perdra t-il une masse de 1mg ?(La période du radium étant de 1622 ans et la masse étant proportionelle au nombre d’atomes)

Solution 4.2.1.

Hypoth?ses: 4.2.1. (h

) Pour t = T , N

=

N

(h

) T=1622 ans et la masse est proportionnelle au nombre d’atomes. m

= 1g m = 1mg

(s

) -On a N

= N

e

, pour t = T d’après (h

) , on a N

= 1

2 N

= N

e

.

Ainsi a = ln2 T

- On a

= e

, or a > 0 et e

< 1 donc N

+ t < N

(s

) . D’après (h

) On a m

= λN

λ ǫ R . Ainsi , t = T

ln2 × m

m

AN : T ≈ 50450688000 secondes et t ≈ 1, 1577 × 10

seconde ie

t ≈ 24jours

4.3 Application en statistique

4.3.1 Ajustement exponentielle

Enoncé 4.3.1 : Le tableau suivant donne la consomation totale d’énergie électrique E en France , sur une période d’une dizaine d’années (a),exprimée en GWh.

a 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 E

en GWh

182.9 192.1 205 219.3 231.8 241.2 243.8 248.2 261 279.5

1. Représenter sur du papier milimétré classique,les points de coordonnés (t,w) où t est l’année et w la consomation correspondante.(l’origine du repère doit être astitucieusement choisi.) Remarquer aussi que la courbe obtenue ressemble à celle d’une fonction exponentielle de base a.

2. On se propose de déterminer une équation approchée de la courbe afin de ,par exemple de,prévoir les consommations futures...Remarquer que si y = ba

,il existe deux réels α et β tel que lny = αx + β . Autrement dit, lny est une fonction affine de x.Pour cela,on utilise le papier semi-logarithmique ,où les abscisses apparaissent inchangées et où,en ordonnée,apparait une échelle logarithmique.

(a) Compléter le tableau suivant à l’aide de votre calculatrice.

a 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985

lnw . . . . . . . . . .

(b) calculer la moyenne de la série (w

) et celle de la série (a

) .le point moyen a pour abscisse la moyenne de la série (a

) ,et pour ordonnée la moyenne de la série (w

) . Nous allons noter ce point M.

(c) la théorie statistique de l’ajustement linéaire nous dit qu’une droite passant "au plus près" des figurés passe par ce point . Tracer une telle droite.

(d) Déterminer graphiquement les consomation d’energie électrique en France en 1990,1991,1992.

Solution 4.3.1. 1. Representation graphique des points de coordonées

(t, w) .

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1976

0 1977 1978 1979 1980 1980.5

1981 1982 1983 230.48

1984 1985 1986 100

200 300

b b b b b b b b b b b

fig8

2. (a) t 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 lnw 5.204 5.25805.32305.39045.44585.48565.49635.51425.56455.6330 (b) calculons :

– La moyenne de la série (w

) : On a w ¯ = 230.48 – La moyenne de la série (a

) : On a ¯ a = 1980.5

– Enfin le point moyen a pour coordonnées : M (1980.5, 230.48)

(c) traçons la droite passant au plus près des points figurés (voir fig8)

(d) Détermination graphique des consomations d’énergie en france en

1990,1991,1992. Ici, il faut utiliser l’ ?quation de la droite passant

par le point moyen.

4.4 Application en statistiques

4.4.1 Ajustement par une fonction puissance

Enoncé 4.1.2 le tableau suivant donne les valeurs mesurées expérimenta- lement,de la pression P(exprimée en kg par cm

).

V 20 25 30 40 55 70 80

P 92.5 77.1 60 40 25.5 18.3 15.2 lnV

lnP

1. complèter les deux dernières lignes du tableau.Que constatez-vous ? Re- présenter les points correspondants aux deux séries (V

) et (P

) Sur du papier milimétré. Vérifier que lnP est une fonction affine de lnV . Cela confirme la loi de Laplace en thermodynamique. P V

= C où γ et C sont des constantes déterminées par la nature du gaz et les conditions expérimentale.

2. Déterminer γ à 0.1 près en mesurant la pente de la droite que l’on peut tracer en approchant au mieux les points de votre figure.

3. Déterminer C en calculant P V

pour un point de cette droite.

Solution 4.4.1. 1. Completons les deux dernières lignes du tableau

V 20 25 30 40 55 70 80

P 92.5 77.1 60 40 25.5 18.3 15.2

lnV 1.301 1.397 1.477 1.602 1.740 1.845 1.903 lnP 1.964 1.887 1.778 1.602 1.406 1.262 1.181

– On constate que toutes les valeurs de lnV obtenues sont distintes a

une très faible amplitude. Il en est de même que les valeurs de lnP .

– Représentation graphique des points de coordonnées (V

, P

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

20

0 30 40 50 60 70 80

20 30 40 50 60 70 80

90

b b b b b b

– . Effectuons les opérations suivantes : 1.966 − 1.887

1.301 − 1.397 = − 0.822 1.887 − 1.778

1.397 − 1.477 = − 1.36 1.602 − 1.778

1.602 − 1.477 = − 1.40 1.602 − 1.778

1.602 − 1.477 = − 1.42 1.406 − 1.602

1.740 − 1.602 = − 1.42 1.262 − 1.406

1.845 − 1.740 = − 1.37

..Cette suite de calcul nous permet de conclure que lnP est une fonction affine de lnV dont le coefficient directeur est approxima- tivement égal à -1.42.

2. Déterminons γ . D’après la lois de Laplace ,

P V

= C

donc

lnP = − γlnV + lnC

Ainsi, − γ est le coéficient directeur de l’application affine définie

précédemment.On trouve donc γ ≈ 1.42