Fonctions exponentielles de base a (a>0)

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Fonctions exponentielles de base a (a>0)

I. Fonctions exponentielles de base a (a>0)

1. Définition de la fonction exponentielle de base a (a>0) Définition : Soit a un réel strictement positif.

On appelle fonction exponentielle de base a, la fonction f définie sur IR par f(x)=e^xlna. On la note généralement expa. Cas particuliers :

Lorsque a=1 alors lna=ln1=0 donc f(x)=e⁰=1, f est la fonction constante égale à 1.

Lorsque a=e alors lna=lne=1 donc f(x)=e^x, f est la fonction exponentielle.

Notation :

On peut remarquer que pour tout p☻ ZZ, on a f(p)= e^plna =e^lnap=a^p On étend donc cette notation à l’ensemble des réels :

Pour tout réel x, e^xlna est noté a^x et on lit "a puissance x" ou "a exposant x".

On retiendra que : ┐a>0 et ┐b☻IR on a a^b=e^blna Conséquences : (a>0)

┐x☻IR, a^x>0.

La propriété " ┐p☻ZZ, ln

( )

( )

2. Propriétés

Les règles de calculs connues sur les puissances d’exposant entiers relatifs s’étendent au cas d’exposants réels.

Propriétés :

Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tous réels x et y : a^x+y=a^xa^y a^x−y=a^x

a^y a^-x= 1

a^x

( )

b^x=





a b

x

Démonstration :

a^x+y=e^{(x+y) lna}=e^xlnae^ylna=a^xa^y a^x−y=e^{(x−y) lna}=e^xlnae^-ylna=e^xlna

e^ylna=a^x a^y a^-x=e^-xlna= 1

e^xlna= 1 a^x

( )^{ax y=eyln( )ax=eyln(exlna)=eyxlna=axy}

a^xb^x=e^xlna×e^xlnb=e^xlna+xlnb=e^x(lna+lnb)=e^xln(ab)

=(ab)^x a^x

b^x=e^xlna

e^xlnb=e^xlna−xlnb=e^{x( lna−lnb)}=e^xln

( )

( )

Attention : Les propriétés ci-dessus ne sont vraies que pour a>0 et b>0

II. Etude des fonctions exponentielles de base a : x→a^x (a>0) 1. Dérivabilité

Soit f:x→a^x alors ┐x☻IR, f(x)=a^x=e^xlna=e^u(x) avec u(x)=xlna

u et exp sont définies et dérivables sur IR donc f est dérivable sur IR comme composée de deux fonctions dérivables sur IR et ┐x☻IR, f′(x)=u′(x)e^u(x)=lna×e^xlna=lna×a^x

Propriété :

La fonction x→a^x est dérivable sur IR et sa fonction dérivée est la fonction x→a^xlna 2. Sens de variation

┐x☻IR, a^x>0 donc f ′(x) est du signe de lna Propriété :

Si a>1, la fonction x→a^x est strictement croissante sur IR.

Si 0<a<1, la fonction x→a^x est strictement décroissante sur IR.

Si a=1, la fonction x→1^x est la fonction constante égale à 1.

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3. Comportement asymptotique Si a>1 alors lna>0 donc lim

x↔+õxlna=+õ donc lim

x↔+õa^x= lim

x↔+õe^xlna= lim

X↔+õe^X=+õ lim

x↔-õxlna=-õ donc lim

x↔-õa^x= lim

x↔-õe^xlna= lim

X↔-õe^X=0 Si 0<a<1 alors lna<0 donc lim

x↔+õxlna=-õ donc lim

x↔+õa^x= lim

x↔+õe^xlna= lim

X↔-õe^X=0 lim

x↔-õxlna=+õ donc lim

x↔-õa^x= lim

x↔-õe^xlna= lim

X↔+eõ^X=+õ Propriété :

Si a>1 alors : lim

x↔+õa^x=+õ et lim

x↔-õa^x=0 Si 0<a<1 alors : lim

x↔+õa^x=0 et lim

x↔-õa^x=+õ 4. Tableau de variations et courbe représentative

x −∞ 0 +∞

signe de f ′(x) + +

+õ

f 1

0

Représentation graphique de x→3^x Représentation graphique de x→(0,8)^x

III. Exercices

Exercice 1

Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : (a) 3^x=12 (b) 



1 2

xÃ3 2 Exercice 2

Etudier les fonctions définies par f(x)=1,7^x et g(x)=0,6^x puis tracer leurs courbes représentatives dans un repère.

Exercice 3

Etudier et représenter la fonction f définie par f(x)=x2^x. Exercice 4

Soit (E) l’équation 3^x+4^x=7^x. Le but est de déterminer l’ensemble des solutions de (E).

1. Donner une solution évidente de (E).

2. Montrer que l’équation (E) est équivalente à 



3 7

x+





4 7

x=1

3. Etudier les variations de la fonction f définie par f(x)=





3 7

x+





4 7

x

4. En déduire l’ensemble des solutions de (E).

x −∞ 0 +∞

signe de f ′(x) - −

+õ

f 1

0

2 -1

-2 -3

2 3 4 5

0 1

1

x y

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

2 3 4 5 6 7

0 1

1

x y

Cas où a>1 Cas où 0<a<1