Fonctions exponentielles de base a

Chapitre 1

Fonctions exponentielles de base a

Activité 1p172

A Dénitions

Soitaun réel strictement positif.

Proposition Il existe une unique fonctionf dérivable surRvériant : f(1) =a

pour tous réelsxet y,f(x+y) =f(x)×f(y)

Preuve : Nous avons vu que la seconde égalité implique que f(x) = e^kx avec k ∈ R. Si l'on impose f(1) =a, la valeur dekest nécessairementlnapar résolution de l'équation. 2 Dénition Soita un réel. La fonction dénie sur Rparx7→e^xlna est appelée fonction exponentielle de basea

Remarque La fonction exponentielle de baseeest la fonction exponentielle usuelle (lne= 1).

La fonction exponentielle de base1est la fonction constante égale à1.

Dénition On note expa la fonction de basea. De manière plus naturelle, l'expressione^xlna est notée a^xet se lit aexposantx ou apuissancex.

Cette notation est cohérente avec celle connue jusqu'à présent des puissances entières. En eet, puisque ln(aⁿ) =nln(a), on a aⁿ=e^nlna.

Cette notation généralise la notatione^x à la puissance de n'importe quel nombre réel positif non néces- sairement égal àe.

Remarque

pour tout réelastrictement positif,a⁰= 1

Proposition Quel que soita, quel que soitx,a^x>0et ln(a^x) =xlna.

Proposition Pour tous réelsaetb strictement positifs et pour tous réelsxety, a^xa^y=a^x+y (a^x)^y=a^x×y (ab)^x=a^xb^y

1

a^y =a^−y a^x

a^y =a^x−y a b

^x

= a^x b^x Preuve :a^xa^y=e^xlnae^ylna=e^{(x+y) lna}=a^x+y

Les autres sont similaires. 2

→Exercices 1,2,4,5,6p189

→Exercices 11,12p190

B Étude de x 7→ a

Proposition La fonctionx7→a^x est dérivable surR(par dénition), et a pour dérivéex7→lna×a^x. Preuve :f(x) =a^x=e^xln(a) et doncf⁰(x) = lna×e^xln(a)= lna×a^x.

Conséquence :

Si0< a <1, la fonction est strictement décroissante.

Si1< a, la fonction est strictement croissante.

Nous savions déjà que sia= 1, la fonction est constante (et vaut1).

1

2 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE A Proposition

Si0< a <1, alors lim

x→+∞a^x= 0et lim

x→−∞a^x= +∞. Si1< a, alors lim

x→+∞a^x= +∞et lim

x→−∞a^x= 0.

Preuve : On utilise encore le fait quea^x=e^xlna. 2

Tableau de valeurs et courbes dans les deux cas (a⁰= 1)

→Exercices 17,18,19,21,23p190

C Fonctions racine n -ième

Soitn∈N. La fonction dénie sur[0; +∞[parx7→xⁿest strictement croissante et prend ses valeurs sur [0; +∞[. Ainsi, pour touta >0, il existe une unique solutionx∈[0; +∞[de l'équation xⁿ=a.

Dénition La solution de l'équationxⁿ =aest notée √ⁿ

aet est appelée la racinen-ième dea. Proposition Sia >0,

√n

a=a 1 n

Sia= 0, √ⁿ

0 = 0(attention que0 1

n n'est pas déni)

Preuve : On sait que le nombre est unique. Il sut de vérier que(a 1

n)ⁿ =a. Or (a 1

n)ⁿ =a⁽ 1 n^×n) =

a¹=a. 2

Proposition La fonctionfn dénie sur[0; +∞[parfn(x) = √ⁿ x=x

1

n vérie : Elle est dérivable sur]0; +∞[(pas en0), est strictement croissante et

fn(0) = 0 lim

x→+∞= +∞

Preuve : Pour x > 0, fn(x) = e 1

n^lnx. La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[, et donc fn aussi, et f_n⁰(x) = 1

xne 1

n^lnx>0. Ainsif_n est bien croissante.

x→+∞lim e 1

n^lnx= +∞

2 Remarque fn n'est pas dérivable en0si n >1 car pourx >0,

fn(x)−fn(0)

x−0 = x

1 n x =x

1

n⁻¹=e⁽ 1 n^{−1) lnx}

et comme 1

n−1<0, lim

x→0e⁽ 1

n^{−1) lnx}= +∞.

Graphiquement, la courbe admet une tangente verticale d'équationx= 0. La courbe est symétrique de celle de la fonctionx7→xⁿ par rapport à la droite d'équationy=x.

Dessin

→Exercices 39,40,42,44,46,47,...p192