Fonctions exponentielles

(1)

Fonctions

exponentielles

Inspection pédagogique de mathématiques Obernai 22 novembre 2005

(2)

•

Prolongement des suites étudiées en math&info

•

Nuage de points représentant une suite arithmétique, et d’une suite à différences secondes constantes

•

Que se passe-t-il pour une suite géométrique ?

(3)

•

Le programme suggère d’introduire une f o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e c o m m e prolongement d’une suite géométrique de raison strictement positive

•

Il s’agit de mettre en œuvre une démarche permettant de faire comprendre aux élèves comment on passe du discret au continu

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On complète une suite géométrique de premier terme 1 et de raison strictement positive q, par les puissances négatives de q Premier stade

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raison 1,5

n q^n

-6 0,0877915 -5 0,13168724 -4 0,19753086 -3 0,2962963 -2 0,44444444 -1 0,66666667

0 1

1 1,5

2 2,25

3 3,375

4 5,0625

5 7,59375

6 11,390625

0 2 4 6 8 10 12

-6 -1 4

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On construit ainsi une fonction d´efinie sur Z par f(m) = q^m.

Cette fonction est telle que l’image de la somme de deux nombres est ´egale au produit de ces deux nombres :

q^m+n = q^m × qⁿ

La fonction f a la propriété suivante : l’image de la moyenne arithmétique de n −1 et de n + 1 est la moyenne géométrique des images de n − 1 et de n + 1 :

qⁿ⁻¹ × qⁿ⁺¹ = (qⁿ)²

Le processus multiplicatif est conserv´e :

Ordonn´ee d’un point −−−−−→^×^q Ordonn´ee du point suivant

Eric Sigward IA-IPR math´´´ ematiques Eric Sigward IA-IPR math´´ ematiques Eric Sigward IA-IPR math´ematiques

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Mise place d’un processus dichotomique :

À chaque étape, entre deux points du nuage précédent, on ajoute un nouveau point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique des abscisses de ces deux points et comme ordonnée la moyenne géométrique de leurs ordonnées.

Second stade

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raison 1,5

-6 0,0877915 -5,5 0,10752218

-5 0,13168724 -4,5 0,16128328 -4 0,19753086 -3,5 0,24192491 -3 0,2962963 -2,5 0,36288737

-2 0,44444444 -1,5 0,54433105 -1 0,66666667 -0,5 0,81649658

0 1

0,5 1,22474487

1 1,5

1,5 1,83711731

2 2,25

2,5 2,75567596

3 3,375

3,5 4,13351394

4 5,0625

4,5 6,20027091

5 7,59375

5,5 9,30040637 6 11,390625

0 2 4 6 8 10 12

-6 -1 4

(9)

– Par construction même la propriété de la moyenne géométrique est conservée.

– Le processus multiplicatif est conserv´e : Ordonn´ee d’un point ^×

√q

−−−−−−→ Ordonnée du point suivant – En démontrant que f est définie pour tout entier re-

latif m par

f(m

2 ) = √q^m

on peut montrer que pour tous entiers relatifs m et n, on a :

f(m + n

2 ) = √q^m⁺ⁿ = √q^m × √qⁿ = f(m

2 ) × f(n 2 )

(On pourra se contenter de conjecturer ces propriétés à l’aide du tableur)

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Seconde étape du processus dichotomique

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raison 1,5

-6 0,0877915 -5,75 0,09715726

-5,5 0,10752218 -5,25 0,11899286 -5 0,13168724 -4,75 0,14573589 -4,5 0,16128328 -4,25 0,17848928 -4 0,19753086 -3,75 0,21860384 -3,5 0,24192491 -3,25 0,26773393 -3 0,2962963 -2,75 0,32790575

-2,5 0,36288737 -2,25 0,40160089 -2 0,44444444 -1,75 0,49185863 -1,5 0,54433105 -1,25 0,60240134 -1 0,66666667 -0,75 0,73778795 -0,5 0,81649658 -0,25 0,903602

0 1

0,25 1,10668192 0,5 1,22474487 0,75 1,35540301

1 1,5

1,25 1,66002288 1,5 1,83711731 1,75 2,03310451

2 2,25

2,25 2,49003432 2,5 2,75567596 2,75 3,04965676

3 3,375

3,25 3,73505148 3,5 4,13351394 3,75 4,57448514

4 5,0625

4,25 5,60257722 4,5 6,20027091 4,75 6,86172771

5 7,59375 5,25 8,40386583

5,5 9,30040637 5,75 10,2925916 6 11,390625

0 2 4 6 8 10 12

-6 -1 4

(12)

•

Par construction même la propriété de la moyenne géométrique est conservée.

•

Le processus multiplicatif est conservé.

•

La nouvelle fonction ainsi définie est telle

que l’image d’une somme de deux nombres est le produit des images de ces nombres.

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Conclusion

Le processus décrit ci-dessus permet d’effectuer le pas- sage de Z à D₂ où D₂ est l’ensemble des rationnels dyadiques. Cet ensemble est dense dans R, un tel processus permet donc bien de définir une fonction définie sur R prolongement continu de cette fonction sur D₂. Avec les élèves, on admettra que l’on a construit la courbe

représentative d’une fonction dérivable sur R qui a la propriété de transformer les sommes en produit. Il s’agit de la fonction x !→ q^x.

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-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-6 -4 -2 0 2 4 6

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•

On admet l’existence et l’unicité d’une fonction exponentielle ayant 1 pour nombre dérivé en 0.

(conjecture avec un logiciel de géométrie dynamique)

•

La fonction exponentielle de base e est le prolongement de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison e.